Uso de Modelos de Crecimiento y Decrecimiento Exponencial

En esta sección, usaremos las diferentes funciones exponenciales en situaciones reales.

La vida media de un isotopo de bario es alrededor de 10 años. La vida media de una sustancia es la cantidad de tiempo que le toma a la mitad de la sustancia en descomponerse. Si un científico nuclear comienza con 200 gramos de bario, ¿cuántos gramos quedarán luego de 100 años?

Orientación

Cuando una cantidad aumenta por un porcentaje durante un periodo de tiempo, la cantidad final puede ser calculada por la ecuación $A=P(1+r)^t$ , donde $A$ es la cantidad final, $P$ la cantidad inicial, $r$ la velocidad (o porcentaje) y $t$ el tiempo (en años). $1+r$ es el . factor de crecimiento .

A la inversa, una cantidad puede disminuir por un porcentaje durante un periodo de tiempo. La cantidad final puede ser calculada por la ecuación: $A=P(1-r)^t$ , donde $1-r$ es el factor de decrecimiento. .

Ejemplo A

La población de Coleman, Texas aumenta en un 2% todos los años. Si la población el 2000 era de 5981, ¿cuál era la población el 2010? Redondea

Solución: Primero, crea una ecuación usando el factor de crecimiento. $r=0.02, t=10,$ y $P=5981$ .

$A & =5981(1+0.02)^{10} \\\& =5981(1.02)^{10} \\\& =7291 \ \text{people}$

Ejemplo B

Depositas $1.000 en una cuenta de ahorro que paga un interés anual de 2,5%. Encuentra el balance luego de 3 años si la tasa de interés es calculada a) anualmente, b) mensualmente y c) diariamente.

Solución: Para la parte a, usaremos $A=1000(1.025)^3=1008.18$ , como es de esperarse del Ejemplo A.

Para determinar la cantidad al ser calculada en otros periodos de tiempo, debemos modificar la ecuación. Para calcular el interés, la ecuación es $A=P \left(1+ \frac{r}{n}\right)^{nt}$ , donde $n$ es el número de veces el interés es calculado dentro de un año. Para la parte b, $n=12$ .

$A & =1000 \left(1+ \frac{0.025}{12}\right)^{12 \cdot 3} \\\& =1000(1.002)^{36} \\\& =1077.80$

En la parte c, $n=365$ .

$A & =1000 \left(1+ \frac{0.025}{365}\right)^{365 \cdot 3} \\\& =1000(1.000068)^{1095} \\\& =1077.88$

Ejemplo C

Compras un auto nuevo por $35.000. Si el valor del auto decrece en un 12% cada año, ¿cuál será el valor del auto en 5 años?

Solución: Esta es una función de decrecimiento porque los valores disminuyen. .

$A & =35000 (1-0.12)^5 \\\& =35000(0.88)^{5} \\\& =18470.62$

El auto tendrá un valor de $18.470, 62 luego de cinco años.

Revisión del Problema Introductorio Este es un ejemplo de decrecimiento exponencial, por lo que nuevamente podemos usar la forma exponencial $f(x)=a \cdot b^{x-h}+k$ . En este caso, a = 200, el valor inicial; b es 1/2, la tasa de decrecimiento; x-h = 100/10 = 10, y k = 0.

$P = 200 \cdot {\frac{1}{2}}^{10}\\\= 200 \cdot {\frac{1}{1024}} = 0.195$

Por lo tanto, luego de 100 años quedarán 0,195 gramos de bario.

Práctica Guiada

1. Tommy compró un camión hace 7 años, ahora el camión tiene un valor de $12.348. Si el valor del camión disminuyó 14% cada año, ¿cuánto le costó cuando lo compró? Redondea.

2. La compañía de crédito Wetakayomoola cobra una Tasa de Porcentaje Anual (APR) de 21,99%, calculada mensualmente. Si tienes un saldo de $2.000 en tu tarjeta, ¿cuál será el balance después de 4 años (suponiendo que no se realicen pagos)? Si pagas $200 al mes con la tarjeta, ¿cuánto te tomará pagarlo? Tal vez necesites hacer una tabla para la segunda pregunta.

3. A medida que la altitud aumenta, la presión atmosférica (la presión del aire alrededor) disminuye. Por cada 1000 pies, la presión atmosférica disminuye cerca de un 4%. La presión atmosférica a nivel del mar es 101,3. Si estás en la cima de Hevenly Mountain en Lake Tahoe (con una elevación de 10.000 pies), ¿cuál es la presión atmosférica?

Respuestas

1. Tommy necesita usar la fórmula $A = P(1-r)^t$ y resolver para $P$ .

$12348 &= P(1-0.14)^7 \\\12348 &= P(0.86)^7 \qquad \qquad \text{Tommy's truck was originally} \ \$35,490. \\\\frac{12348}{(0.86)^7} &= P \approx 35490$

2. Debes usar la fórmula $A=P \left(1+ \frac{r}{n}\right)^{nt}$ , donde $n=12$ por que el interes es calculado mensualmente

$A & =2000 \left(1+ \frac{0.2199}{12}\right)^{12 \cdot 4} \\\& =2000(1018325)^{48} \\\& =4781.65$

Para determinar cuánto te tomara pagar el saldo, es necesario encontrar cuanto interés se calcula en un mes, restar $200 y repetir. Puede ser útil hacer una tabla. Por casa mes luego del primero, usaremos la ecuación $B=R \left(1+ \frac{0.2199}{12}\right)^{12 \cdot (\frac{1}{12})} = R(1.018325)$ , donde $B$ es el balance actual y $R$ es el balance remanente del mes anterior. Por ejemplo, en el segundo mes, el balance (incluyendo intereses) será $B=1800 \left(1+ \frac{0.2199}{12}\right)^{12 \cdot \left(\frac{1}{12}\right)}= 1800 \cdot 1.08325=1832.99$ .

Mes	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
Balance	2000	1832.99	1662.91	1489.72	1313.35	930.09	790.87	640.06	476.69	299.73	108.03
Pago	200	200.00	200.00	200.00	200.00	200.00	200.00	200.00	200.00	200.00	108.03
Remanente	$1800	1632.99	1462.91	1289.72	913.35	730.09	590.87	440.06	276.69	99.73	0

Te tomara 11 meses pagar el balance y pagarás un interés de 108,03. El pago total será $2.108,03.

3. La ecuación será $A=101,325(1-0.04)^{100}=1709.39$ . El factor de decrecimiento solo aumenta a la potencia de 100, ya que por cada 1000 pies la presión disminuye. Por ende, $10,000 \div 1000=100$ . La presión atmosférica no se siente en altitudes mayores y puede causar mareos. La imagen de abajo demuestra el efecto de la presión atmosférica en una botella d eplástico. La primera imagen muestra la botella sellada a los 14.000 pies de elevación; la siguiente, a los 9.000; y la tercera, a los 1.000. Mientras menor sea la elevación, mayor es la presión atmosférica, por ende la botella se aplastó a los 1.000 pies.

Vocabulario

Factor de Crecimiento: El porcentaje o cantidad de crecimiento de una función exponencial, $1+r$ , El factor de crecimiento es de uso común para calcular habitantes e intereses.

Factor de Decrecimiento: El porcentaje o cantidad de crecimiento de una función exponencial, $1-r$ , El factor de decrecimiento es de uso común para calcular habitantes, valores devaluados y radioactividad.

Interés Compuesto: Calculo anual, mensual, trimestral e incluso diario de la una tasa de interés particular en cierta cantidad de dinero. Se le llama compuesto porque luego de la primera recolección el interés se considera solamente como interés.

Práctica

Usa una función de crecimiento o decrecimiento exponencial que represente las siguientes situaciones y responde las preguntas.

El sueldo de Sonya aumenta en un 4% cada año. Su sueldo inicial es $45.000. ¿Cuál será su sueldo anual luego de 8 años?, redondea.
El valor del auto de Sam decae un 8% cada año. El valor inicial era $22.000. ¿Cuánto valdrá el auto luego de 12 años?, redondea.
Rebecca está entrenando para una maratón. Corre 5 millas por semana. Si aumenta las millas un 10% cada semana, ¿será capaz de terminar su entrenamiento de 20 millas en 15 semanas?
Una inversión aumenta un 6% por año. ¿Cuánto debe invertir Noel para tener $100.000 luego de 20 años?
Charlie compra una casa rodante usada 7 años por $54,000. Si la tasa de decrecimiento era 13% anual durante esos 7 años, ¿cuál era el valor original de la casa rodante? Redondea.
El valor de las casas de cierto vecindario aumenta un 3% anual. Si se compra una casa por $180.000, ¿cuánto costará en 25 años? Redondea.
Los habitantes de una ciudad disminuyen un 2% cada año. La cantidad de habitantes actual es 152.000, ¿cuántos habitantes había en la ciudad hace 5 años?
El valor de cierto terreno es $40.000 y su tasa de aumento es 1,5% por año. Suponiendo que la tasa de apreciación se mantiene, ¿cuánto tiempo deberá esperar el dueño para vender el terreno por $50.000? Redondea.

Para los problemas 9-15, usa la fórmula de interés compuesto: $A=P \left(1+ \frac{r}{n}\right)^{nt}$ .

Si se invierten $12.000 con un interés anual de 4% calculado mensualmente, ¿cuánto valdrá la inversión en 10 años? Redondea.
Si se invierten $8.000 con un interés anual de 5% calculado semianualmente, ¿cuánto valdrá la inversión en 6 años? Redondea.
Si se invierten $20.000 con un interés anual de 6% calculado trimestralmente, ¿cuánto valdrá la inversión en 12 años? Redondea.
Si se invierten $5.000 con un interés anual de 8% calculado trimestralmente, ¿cuánto valdrá la inversión en 15 años? Redondea.
¿Cuánto se debe invertir para tener al menos $25.000 luego de 8 años con una tasa de interés anual de 3,75% calculada mensualmente? Redondea.
¿Cuánto se debe invertir para tener al menos $10.000 luego de 5 años con una tasa de interés anual de 5% calculada trimestralmente? Redondea.
Tu inversión inicial de $20.000 aumenta el doble luego de 10 años. Si el interés se calcula trimestralmente, ¿cuál es tu tasa de interés?

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