El Número e

En esta sección, usarás el número $e$ ,en funciones exponenciales y situaciones reales.

El interés de una cantidad de dinero compuesto constantemente puede ser calculado con la fórmula $I=Pe^{rt} - P$ , donde P es la cantidad invertida, r es la tasa de interés y t es la cantidad de tiempo que el dinero lleva invertido. Si inviertes $1000 en una cuenta de ahorro que paga un interés compuesto del 2,5% constantemente y dejas el dinero en la cuenta por 4 años, ¿cuánto interés ganarás?

Orientación

Existen muchos números especiales en matemáticas: $\pi$ , cero, $\sqrt{2}$ , entre otros. En esta sección, conocerás otro número especial conocido por la letra, $e$ . Se le llama número e o número de Euler , por su descubridor Leonhard Euler.

En la sección anterior, aprendimos que la fórmula para el interés compuesto es $A=P \left(1+ \frac{r}{n}\right)^{nt}$ . Reemplacemos $P, r$ y $t$ por uno y veamos que sucede, $A= \left(1+ \frac{1}{n}\right)^n$ .

Estudio: Encontrar los valores de $\left(1+ \frac{1}{n}\right)^n$ a medida que $n$ aumenta

1. Copia y completa la tabla que se muestra a continuación. Redondea cada valor a los 4 primeros decimales.

$n$	1	2	3	4	5	6	7	8
$\left(1+ \frac{1}{n}\right)^n$	$\left(1+ \frac{1}{1}\right)^1 = 2$	$\left(1+ \frac{1}{2}\right)^2=2.25$

2. ¿Se acercan los números de la tabla a cierto valor? ¿Cuál número crees que sea?

3. Resuelve $\left(1+ \frac{1}{100}\right)^{100}$ y $\left(1+ \frac{1}{1000}\right)^{1000}$ . ¿Cambia el resultado tu respuesta de la pregunta 2?

4. Rellena los espacios vacios: A medida que $n$ se aproxima a ___________, ___________ se aproxima a $e \approx 2.718281828459 \ldots$

$e$ se define como el número al que $\left(1+ \frac{1}{n}\right)^n$ se aproxima así como $n \rightarrow \infty$ ( $n$ se aproxima al infinito). $e$ es un número irracional con los primeros 12 decimales.

Ejemplo A

Grafica $y=e^x$ . Encuentra el intercepto en, $y$ la asíntota, el dominio y el rango.

Solución: Como es de esperarse, el gráfico de $e^x$ será curvo entre $2^x$ y $3^x$ .

La asíntota es $y=0$ y el intercepto en $y$ es (0, 1) porque cualquier valor a la potencia de cero es uno. El dominio son todos los números reales y el rango son todos los números reales positivos, $y>0$ .

Ejemplo B

Simplifica $e^2 \cdot e^4$ .

Solución: Las bases son las mismas, por lo que se pueden sumar los exponentes con facilidad. La respuesta es $e^6$ .

Ejemplo C

Gianna abre una cuenta de ahorro con $1000, con un interés que aumenta constantemente en un 5%. ¿Cuál será el balance de la cuenta luego de 6 años?

Solución: En la sección anterior, los problemas se centraban en interés compuesto mensualmente, trimestralmente, anualmente, etc. En este ejemplo, el interés se compone constantemente. La ecuación cambia un poco, de $A=P \left(1+ \frac{r}{n}\right)^{nt}$ a $A=Pe^{rt}$ , Se elimina la $n$ , ya que no hay intervalos. Por lo tanto, la ecuación para este problema es $A=1000e^{0.05(6)}$ y la cuenta aumentará a $1349,86. Compara el resultado con un interés devengado a diario, que sería $A=1000 \left(1+ \frac{0.05}{365}\right)^{365(6)}=1349.83$ .

Revisión del Problema Introductorio Reemplaza los valores dados en la ecuación $I=Pe^{rt}$ y resuelve para I.

$I=Pe^{rt} - P\\\I = 1000\cdot e^{0.025\cdot 4} - 1000\\\I = 1000 \cdot e^{0.1} - 1000\\\I = 1000 \cdot 1.1052 - 1000\\\I = 1105.20 - 1000 = 105.20$

Por lo tanto, luego de 4 años habrás Ganado $105,20 en intereses.

Práctica Guiada

1. Determina si las siguientes funciones son de crecimiento exponencial, decrecimiento exponencial o ninguna.

a) $y=\frac{1}{2}e^x$

b) $y=-4e^x$

c) $y=e^{-x}$

d) $y=2 \left(\frac{1}{e}\right)^{-x}$

2. Simplifica las siguientes expresiones con $e$ .

a) $2e^{-3} \cdot e^2$

b) $\frac{4e^6}{16e^2}$

3. La tasa de decrecimiento de la radiactividad del radio es representada por $R=Pe^{-0.00043t}$ , donde $R$ es la cantidad (en gramos) de radio presente luego de $t$ años y $P$ es la cantidad inicial (en gramos también). Si hay 698,9 gramos de radio luego de 5.000 años, ¿cuál era la cantidad inicial?

Respuestas

1. Recuerda, para que una función sea de crecimiento exponencial, la basa debe ser mayor que uno. Para que sea de decrecimiento exponencial, la base debe estar entre cero y uno.

a) Crecimiento exponencial; $e>1$

b) Ninguna; $a<0$

c) Decrecimiento exponencial; $e^{-x}= \left(\frac{1}{e}\right)^x$ y $0< \frac{1}{e}<1$

d) Crecimiento exponencial; $\left(\frac{1}{e}\right)^{-x}=e^x$

2. a) $2e^{-3} \cdot e^2 = 2e^{-1}$ o $\frac{2}{e}$

b) $\frac{4e^6}{16e^2} = \frac{e^4}{4}$

3. Usa la fórmula dada en el problema y resuelve la incógnita.

$R &= Pe^{-0.00043t} \\\698.9 &= Pe^{-0.00043(5000)} \\\698.9 &= P(0.11648) \\\6000 &= P$

Había 6000 gramos de radio en un principio.

Vocabulario

Número de Euler: El número $e$ , de tal manera que $n \rightarrow \infty, \left(1+ \frac{1}{n}\right)^n \rightarrow e$ . $e \approx 2.71828$ .

Práctica

Determina si las siguientes funciones son de crecimiento exponencial, decrecimiento exponencial o ninguna. Justifica tu respuesta.

$y=\frac{4}{3} e^x$
$y=-e^{-x}+3$
$y= \left(\frac{1}{e}\right)^x +2$
$y= \left(\frac{3}{e}\right)^{-x} -5$

Simplifica las siguientes expresiones con $e$ .

$e^{-3} \cdot e^{12}$
$\frac{5e^{-4}}{e^3}$
$6e^5e^{-4}$
$\left(\frac{4e^4}{3e^{-2}e^3}\right)^{-2}$

Resuelve los siguientes problemas.

Los habitantes de Springfield aumentan exponencialmente. El crecimiento puede ser representado por la función $P=Ie^{0.055t}$ , donde $P$ representa la población estimada; $I$ la población actual de 100.000 el 2012; y $t$ el número de años luego del 2012.

¿Cuántos habitantes habrán para el 2022? Redondea.
¿En qué año se doblara la población inicial, si la tasa de crecimiento se mantiene?

El valor del auto de Steve decrece según la siguiente función: $V=Pe^{-0.12t}$ , donde $V$ es el valor actual del auto, $t$ es el número de años que Steve a tenido el auto y $P$ es el precio original del auto $25.000.

¿Cuál será el valor del auto en 2 años? Redondea.
¿Cuál será el valor del auto en 10 años? Redondea.

Naya invierte $7500 en una cuenta que devenga interés constantemente con una tasa del 4,5%.

Escribe una función de crecimiento exponencial que represente el valor de su inversión luego de $t$ años.
¿Cuántos intereses ganó Naya en los primeros seis meses? Redondea.
¿Cuánto dinero habrá en la cuenta luego de 8 años? Redondea.

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