Definir Logaritmos

En esta sección, definirás y aprenderás a usar logaritmos.

Estás en un concierto y te gustaría saber a cuantos decibeles está la música. El nivel de decibeles de un sonido se encuentra asignando una intensidad I0 a un sonido muy suave, o al umbral. El nivel de decibeles se puede medir con las fórmula $d = 10 \cdot \log \frac{I}{I0}$ donde I es la intensidad del sonido. Si la intensidad del concierto es 1,000,000,000(I0), ¿cuál es el nivel de decibeles?

Orientación

Probablemente, podrás calcular con facilidad que si $x=3$ , $2^x=8$ y si $x=4$ , $2^x=16$ . Pero ¿qué valor tendría $x$ si $2^x=12$ ? Hasta ahora, no hemos tenido inversas en funciones exponenciales. Pero, debido a que hay variables en el exponente, necesitamos una forma de sacar las variables del exponente. Introducir un Logaritmo. Un logaritmo se define como la inversa de una función exponencial. Se escribe como $\log_b a=x$ en la que $b^x=a$ . Por lo tanto, si $5^2=25$ ( forma exponencial ), entonces $\log_5 25=2$ ( forma logarítmica ).

Hay dos tipos especiales de logaritmos o log . Uno tiene base 10 y se escribe solo como log y no como $\log_{10}$ , El otro es el log natural , la inversa del número $e$ El log natural tiene base $e$ y se escribe $\ln$ Este es el único log que no se escribe usando $\log$ .

Ejemplo A

Reescribe $\log_3 27=3$ a su forma exponencial.

Solución: Usa la definición anterior, también llamada "clave".

$\log_b a &= x \leftrightarrow b^x=a \\\\log_3 27 &= 3 \leftrightarrow 3^3=27$

Ejemplo B

Encuentra:

a) $\log 1000$

b) $\log_7 \frac{1}{49}$

c) $\log_{\frac{1}{2}}(-8)$

Solución: Usando la clave, podemos reescribir todos los logaritmos en términos exponenciales.

a) $\log 1000=x \Rightarrow 10^x=1000, x=3$ .

b) $\log_7 \frac{1}{49}=x \Rightarrow 7^x=\frac{1}{49}, x=-2$ .

c) $\log_{\frac{1}{2}}(-8)=x \Rightarrow \left(\frac{1}{2}\right)^x =-8$ . No tiene solución. Un número positivo elevado a cualquier potencia siempre será negativo.

Hay dos tipos de logaritmos especiales que puedes encontrar al pasarlos a su forma exponencial.

El primero es $\log_b 1=0$ , ya que $b^0=1$ . El segundo es $\log_b b=1$ ya que $b^1=b \cdot b$ puede ser cualquier número excepto 1.

Ejemplo C

Usa tu calculadora para encontrar los siguientes logaritmos. Redondea tu respuesta.

a) $\ln7$

b) $\log 35$

c) $\log_5 226$

Solución:

a) Ubica el botón LN de tu calculadora. Dependiendo de la marca, tendrás que ingresar el número primero. En una TI-83 u 84, presiona LN , 7 y ENTER . La respuesta es 1,95.

b) En la calculadora, el botón LOG es base 10. Presiona LOG , 35, ENTER . La respuesta es 1,54.

c) Para usar la calculadora con otra base distinta de 10 o usar el log natural, necesitas usar el cambio de fórmula base.

Cambiar la Fórmula Base: $\log_a x=\frac{\log_b x}{\log_b a}$ , en la que $x, a,$ y $b>0$ y $a$ y $b \ne 1$ .

Así, para utilizar esto para una calculadora, puede usar LN o LOG.

$\log_5 226=\frac{\log 226}{\log 5}$ o $\frac{\ln 226}{\ln 5} \approx 3.37$

En una calculadora TI-83 u 84, el orden sería LOG (226)/ LOG (5), ENTER .

Revisión del Problema Introductorio Ingresa los valores dados en la ecuación $d = 10 \cdot \log \frac{I}{I0}$ y resuelve para d .

$d = 10 \cdot \log \frac{1,000,000,000 (I0)}{I0}\\\d = 10 \cdot \log 1,000,000,000\\\d = 10 \cdot 9 = 90$

Por lo tanto, el nivel de decibeles en el concierto es 90.

Práctica Guiada

1. Reescribe $6^2=36$ a su forma logarítmica.

2. Resuelve las siguientes expresiones sin calculadora.

a) $\log_{\frac{1}{2}} 16$

b) $\log 100$

c) $\log_{64} \frac{1}{8}$

3. Usa una calculadora para resolver cada expresión. Redondea tus respuestas.

a) $\ln 32$

b) $\log_7 94$

c) $\log 65$

4. Usa el cambio de fórmula base para resolver $\log_8 \frac{7}{9}$ en una calculadora.

Respuestas

1. Usando la clave obtenemos $6^2=36 \rightarrow \log_6 36=2$ .

2. Cambia cada logaritmo a su forma exponencial y resuelve para $x$ .

a) $\log_{\frac{1}{2}} 16 \rightarrow \left(\frac{1}{2}\right)^x=16$ . $x$ debe ser negativo porque la respuesta no es una fracción, como la base.

$2^4=16$ , así $\left(\frac{1}{2}\right)^{-4}=16$ . Por lo tanto, $\log_{\frac{1}{2}}16=-4$ .

b) $\log100 \rightarrow 10^x=100$ . $x=2$ , por lo tanto , $\log100=2$ .

c) $\log_{64} \frac{1}{8} \rightarrow 64^x = \frac{1}{8}$ . Primero, $\sqrt{64}=8$ , Primero $64^{\frac{1}{2}}=8$ . Para transformar el resultado a fracción, debemos cambiar la potencia a negativa. $64^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{8}$ , por lo tanto $\log_{64} \frac{1}{8}=-\frac{1}{2}$ .

3. Usando una calculadora obtenemos:

a) 3.47 b) 2.33 c) 1.81

4. Al reescribir $\log_8 \frac{7}{9}$ usando el cambio de fórmula base obtenemos: $\frac{\log \frac{7}{9}}{\log 8}$ . Si ingresamos este valor a la calculadora obtenemos $\frac{\log \left(\frac{7}{9}\right)}{\log 8} \approx -0.12$ .

Vocabulario

Logaritmo: La inversa de una función exponencial, se escribe $\log_b a=x$ en la que $b^x=a$ .

Forma Exponencial: $b^x=a$ , en la que $b$ es la base $x$ es el exponente.

Forma Logarítmica: $\log_b a=x$ , en la que $b$ es la base.

Log Natural: Log Natural , $e$ , se escribe $\ln$ .

Cambio de Fórmula Base: Establecer $b, x,$ e $y$ como números positivos, con $b \ne 1$ e $y \ne 1$ . Luego ingresa , $\log_y x=\frac{\log_b x}{\log_b y}$ . Más específicamente, $\log_y x=\frac{\log x}{\log y}$ y $\log_y x=\frac{\ln x}{\ln y}$ , para que las expresiones puedan ser calculadas usando una calculadora.

Práctica

Reescribe las siguientes ecuaciones exponenciales a ecuaciones logarítmicas.

$3^x=5$
$a^x=b$
$4(5^x)=10$

Reescribe las siguientes ecuaciones logarítmicas a ecuaciones exponenciales.

$\log_2 32=x$
$\log_{\frac{1}{3}}x=-2$
$\log_a y=b$

Resuelve las siguientes expresiones logarítmicas sin usar calculadora.

$\log_5 25$
$\log_{\frac{1}{3}} 27$
$\log \frac{1}{10}$
$\log_2 64$

Resuelve las siguientes expresiones logarítmicas usando calculadora. Es probable que debas usar el Cambio de Fórmula Base para algunos problemas.

$\log 72$
$\ln 8$
$\log_2 12$
$\log_3 9$
$\log_{11} 32$

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