Propiedades Inversas de Funciones Logarítmicas

En esta sección, aprenderás las propiedades inversas de una función logarítmica.

Si continuas estudiando matemáticas en la universidad, lo más probable es que tomes un curso llamado Ecuaciones Diferenciales. En el curso aprenderás que la solución a la ecuaciones diferencial $y' = y$ es la función general $y = Ce^x$ . ¿Cuál es la inversa de esta función?

Orientación

Por definición, un logaritmo es la inversa de un exponente. Por lo tanto, una función logarítmica es la inversa de una función exponencial. Recuerda lo que implica que una función sea la inversa de otra. Cuando dos inversas se componen (véase la sección Inversa de una Función ), se igualan a $x$ . Por lo tanto, si $f(x)=b^x$ y $g(x)=\log_b x$ , entonces:

$f \circ g=b^{\log_b x}=x$ y $g \circ f =\log_b b^x=x$

Estas se conocen como Propiedades Inversas de los Logaritmos.

Ejemplo A

Resuelve:

a) $10^{\log 56}$

b) $e^{\ln6} \cdot e^{\ln2}$

Solución: Para cada uno de estos ejemplos usaremos las Propiedades Inversas.

a) Usando la primera propiedad, podemos observar que las bases se cancelan entre sí. $10^{\log 56}=56$

b) En este caso, $e$ y el log natural se cancelan y nos queda $6 \cdot 2=12$ .

Ejemplo B

Resuelve $\log_4 16^x$

Solución: Usaremos la segunda propiedad para este. Además, reescribe 16 como $4^2$ .

$\log_4 16^x=\log_4 (4^2)^x=\log_4 4^{2x}=2x$

Ejemplo C

Encuentra la inversa de $f(x)=2e^{x-1}$ .

Solución: Véase la sección Encontrar la Inversa para ver los pasos de encontrar una inversa.

Cambia $f(x)$ a $y$ . Luego, cambia $x$ e $y$ .

$& y=2e^{x-1} \\\& x=2e^{y-1}$

Ahora, necesitamos aislar el exponente y tomar el logaritmo de ambos lados. Primero divide por 2.

$& \frac{x}{2}=e^{y-1} \\\& \ln \left(\frac{x}{2}\right)= \ln e^{y-1}$

Recuerda las Propiedad Inversas explicadas anteriormente. Al aplicar $\log_b b^x=x$ ; a la derecha de nuestra ecuación obtenemos $\ln e^{y-1}=y-1$ . Resuelve para $y$ .

$& \ln \left(\frac{x}{2}\right)=y-1 \\\& \ln \left(\frac{x}{2}\right)+1=y$

Por lo tanto, $\ln \left(\frac{x}{2}\right)+1$ es la inversa de $2e^{y-1}$ .

Revisión del Problema Introductorio Cambiar x e y en la función $y = Ce^x$ y luego resuelve para y .

$x = Ce^y\\\\frac{x}{C} = e^y\\\ln \frac{x}{C} = ln (e^y)\\\ln \frac{x}{C} = y$

Por lo tanto $y = Ce^x$ es la inversa de $y = ln \frac{x}{C}$ .

Práctica Guiada

1. Simplifica $5^{\log_5 6x}$ .

2. Simplifica $\log_9 81^{x+2}$ .

3. Encuentra la inversa de $f(x)=4^{x+2}-5$ .

Respuestas

1. Usando la primera propiedad inversa, el log y la base se cancelan, dejando $6x$ como resultado.

$5^{\log_5 6x}=6x$

2. Usando la segunda propiedad inversa y cambiando 81 por $9^2$ obtenemos:

$\log_9 81^{x+2} &= \log_9 9^{2(x+2)} \\\&= 2(x+2) \\\&= 2x+4$

3. Sigue los pasos del Ejemplo C para encontrar la inversa.

$f(x) &= 4^{x+2}-5 \\\y &= 4^{x+2}-5 \\\x &= 4^{y+2}-5 \\\x+5 &= 4^{y+2} \\\\log_4 (x+5) &= y+2 \\\\log_4 (x+5)-2 &= y$

Vocabulario

Propiedades Inversas de Logaritmos: $\log_b b^x=x$ y $b^{\log_b x}=x, b \ne 1$

Práctica

Usa las Propiedad Inversas de Logaritmos para simplificar las siguientes expresiones.

$\log_3 27^x$
$\log_5 \left(\frac{1}{5}\right)^x$
$\log_2 \left(\frac{1}{32}\right)^x$
$10^{\log(x+3)}$
$\log_6 36^{(x-1)}$
$9^{\log_9(3x)}$
$e^{\ln(x-7)}$
$\log \left(\frac{1}{100}\right)^{3x}$
$\ln e^{(5x-3)}$

Encuentra la inversa de cada una de las siguientes funciones exponenciales.

$y=3e^{x+2}$
$f(x)=\frac{1}{5}e^\frac{x}{7}$
$y=2+e^{2x-3}$
$f(x)=7^{\frac{3}{x}+1-5}$
$y=2(6)^\frac{x-5}{2}$
$f(x)=\frac{1}{3}(8)^{\frac{x}{2}-5}$

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