Graficar Funciones Logarítmicas

En esta sección, aprenderás a graficar funciones logarítmicas a mano y con calculadora.

Tu tarea de matemática consiste en encontrar el cuadrante en el que cae el gráfico de la función $f(x)= 4\ln(x + 3)$ De camino a casa, tu mejor amigo te dice, "¡Esta es la tarea más fácil que nos han dado! Todas las funciones logarítmicas se ubican en los Cuadrantes I y IV". No estás tan seguro, así que al llegar a tu casa graficas la función como fue indicado. El gráfico se ubica en el Cuadrante I tal como tu amigo pensó, pero en vez del Cuadrante IV, también se ubica en los Cuadrante II y III. ¿Cuál de los dos está en lo correcto?

Orientación

Ahora que has aprendido a usar estas funciones como inversas, usémoslo para graficar funciones logarítmicas. Recuerda que las funciones son inversas entre sí cuando se reflejan sobre la recta $y=x$ . Por lo tanto, si reflejamos $y=b^x$ sobre $y=x$ , obtendremos el gráfico de $y=\log_b x$ .

Recuerda que una función exponencial tiene una asíntota horizontal. Debido a que el logaritmo es su inversa, en vez de horizontal, la asíntota será vertical. La forma general de una función logarítmica es $f(x)=\log_b(x-h)+k$ y la asíntota vertical es $x=h$ . El dominio es $x>h$ y el rango son todos los números reales. Por último, si $b>1$ , el gráfico se traslada hacia arriba a la derecha. Si $0<b<1$ , el gráfico se traslada hacia abajo a la derecha.

Ejemplo A

Grafica $y=\log_3(x-4)$ . Indica el dominio y el rango.

Solución:

Para graficar una función logarítmica sin calculadora, se debe comenzar por trazar la asíntota en $x=4$ . Sabemos que el gráfico tendrá la forma general de la primera función de arriba. Marca algunos puntos "fáciles", como (5, 0), (7, 1) y (13, 2) y conecta.

El dominio es $x>4$ y el rango son todos los números reales.

Ejemplo B

¿Está el punto (16, 1) en $y=\log (x-6)$ ?

Solución: Reemplaza el punto en la ecuación para comprobar si es cierto.

$1 &= \log(16-6) \\\1 &= \log 10 \\\1 &= 1$

Sí, es cierto, el punto (16, 1) está en el gráfico.

Ejemplo C

Grafica $f(x)=2 \ln(x+1)$ .

Solución: Para graficar un log natural, debemos usar una calculadora gráfica. Presiona $Y=$ e ingresa la función $Y=2 \ln(x+1)$ , GRAPH .

Revisión del Problema Introductorio La asíntota vertical de la función $f(x)= 4\ln(x + 3)$ es $x = -3$ ya que x se acerca a $-3$ pero nunca lo alcanza, x puede tomar valores negativos. Por tanto, la función se ubicará en los Cuadrante II y III. Por lo que, tú estás en lo correcto y tu amigo está equivocado.

Práctica Guiada

1. Grafica $y=\log_{\frac{1}{4}} x+2$ ajusta la pantalla como corresponda.

2. Grafica $y=-\log x$ usando una calculadora. Indica el dominio y el rango.

3. ¿Está el punto (-2, 1) en el gráfico de $f(x)=\log_{\frac{1}{2}} (x+4)$ ?

Respuestas

1. Primero, hay una asíntota vertical en $x=0$ . Ahora, determina unos cuantos puntos sencillo, puntos donde es fácil encontrar el log, como (1, 2), (4, 1), (8, 0.5) y (16, 0).

Para graficar una función logarítmica usando una TI-83/84, ingresa la función en $Y=$ usa el Change of Base Fórmula (Cambio de Fórmula Base). Los pasos a seguir serían:

$Y= \frac{\log(x)}{\log \left ( \frac{1}{4} \right )}+2$ , GRAPH

Para ver una tabla de valores, presiona $2^{nd} \rightarrow$ GRAPH .

2. Los pasos a seguir son $Y=-\log(x)$ , GRAPH .

El dominio es $x>0$ y el rango son todos los números reales.

3. Reemplaza el punto (-2, 1) en $f(x)=\log_{\frac{1}{2}} (x+4)$ para comprobar si la ecuación es cierta.

$1 &= \log_{\frac{1}{2}} (-2+4) \\\1 &= \log_{\frac{1}{2}} 2 \rightarrow \frac{1}{2}^x=2 \\\1 & \ne -1$

Por lo tanto, el punto (-2, 1) no está en el gráfico. Sin embargo, (-2, -1) si está.

Práctica

Grafica las siguientes funciones logarítmicas sin usar calculadora. Indica la ecuación de la asíntota, el dominio y el rango de cada función.

$y=\log_5 x$
$y=\log_2(x+1)$
$y=\log(x)-4$
$y=\log_{\frac{1}{3}}(x-1)+3$
$y=-\log_{\frac{1}{2}}(x+3)-5$
$y=\log_4(2-x)+2$

Grafica las siguientes funciones logarítmicas usando calculadora.

$y=\ln (x+6)-1$
$y=-\ln (x-1)+2$
$y=\log(1-x)+3$
$y=\log(x+2)-4$
¿Cómo graficarías $y=\log_4 x$ con una calculadora gráfica? Grafica la función.
Grafica $y=\log_{\frac{3}{4}}x$ con una calculadora gráfica.
¿Está el punto (3, 8) en el gráfico de $y=\log_3 (2x-3)+7$ ?
¿Está el punto (9, -2) en el gráfico de $y=\log_{\frac{1}{4}} (x-5)$ ?
¿Está el punto (4, 5) en el gráfico de $y=5 \log_2 (8-x)$ ?

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