Propiedades del Producto y Cociente de Logaritmos

En esta sección, harás uso de las propiedades de producto y cociente de logaritmos.

Tu amigo Robbie trabaja como mesero en una pizzería. Dos de tus amigos y tú van al restaurante y piden una pizza. Le piden a Robbie que divida la cuenta en tres. En vez de traer tres cuentas, Robbie trae una con el total $\log_3 162 - \log_3 2$ . "Esto es lo que cada uno de ustedes le debe", dice y deja la cuenta en la mesa. ¿Cuánto debe cada uno?

Orientación

Al igual que los exponente, los logaritmos tienen propiedades especiales, o atajos, que se pueden aplicar para simplificar expresiones. En esta lección, aprenderás dos de estas propiedades.

Ejemplo A

Simplifica $\log_b x + \log_b y$ .

Solución: En primer lugar, estos logs tienen la misma base. Si no tienen las mismas bases, las propiedades no se aplican.

$\log_b x=m$ y $\log_b y=n$ , por lo que $b^m=x$ y $b^n=y$ .

Ahora, multiplica las dos últimas ecuaciones.

$b^m \cdot b^n &= xy \\\b^{m+n} &= xy$

Recuerda que los exponentes se pueden sumar si sus bases son iguales. Ahora, aplica el logaritmo a esta ecuación.

$b^{m+n}=xy \rightarrow \log_b xy=m+n$

Recuerda que $m=\log_b x$ y $n=\log_b y$ , por lo tanto $\log_b xy=\log_b x + \log_b y$ .

por lo tanto Propiedad del Producto de Logaritmos. .

Ejemplo B

Expande $\log_{12} 4y$ .

Solución: Al aplicar la Propiedad de Producto del Ejemplo A obtenemos:

$\log_{12} 4y = \log_{12} 4 + \log_{12} y$

Ejemplo C

Simplifica $\log_3 15 - \log_3 5$ .

Solución: La Propiedad del Cociente de Logaritmos es $\log_b \frac{x}{y}=\log_b x - \log_b y$ (demostración en los problemas). Por lo tanto, la respuesta es:

$\log_3 15 - \log_3 5 &= \log_3 \frac{15}{5} \\\&= \log_3 3 \\\&= 1$

Revisión del Problema Introductorio

Si reescribes $\log_3 162 - \log_3 2$ como $\log_3 \frac {162}{2}$ , obtienes $\log_3 81$ .

$3^4 = 81$ así cada uno debe $4.

Práctica Guiada

Simplifica las siguientes expresiones.

1. $\log_7 8 + \log_7 x^2 + \log_7 3y$

2. $\log y - \log 20 + \log 8x$

3. $\log_2 32 - \log_2 z$

4. $\log_8 \frac{16x}{y^2}$

Respuestas

1. Combina todos los logs usando la Propiedad del Producto.

$\log_7 8 + \log_7 x^2 + \log_7 3y &= \log_7 8x^2 3y \\\&= \log_7 24x^2 y$

2. Usa ambas propiedades para reducir.

$\log y - \log 20 + \log 8x &= \log \frac{y}{20} \cdot 8x \\\&= \log \frac{2xy}{5}$

3. En este ejercicio no debes usar ninguna de las reglas, solo la definición de un logaritmo.

$\log_2 32 - \log_2 z=5 - \log_2 z$

4. Al expandir un log, divide primero y luego aísla el numerador.

$\log_8 \frac{16x}{y^2} &= \log_8 16x - \log_8 y^2 \\\&= \log_8 16 + \log_8 x-\log_8 y^2 \\\&= \frac{4}{3} + \log_8 x - \log_8 y^2$

Para determinar $\log_8 16$ , usa la definición y potencias de 2: $8^n=16 \rightarrow 2^{3n}=2^4 \rightarrow 3n = 4 \rightarrow n=\frac{4}{3}$ .

Vocabulario

Propiedad del Producto de Logaritmos.: Siempre que $b \ne 1$ , $\log_b xy=\log_b x + \log_b y$

Propiedad del Producto de Logaritmos.: Siempre que $b \ne 1$ , $\log_b \frac{x}{y}=\log_b x - \log_b y$

Práctica

Simplifica las siguientes expresiones logarítmicas.

$\log_3 6 + \log_3 y - \log_3 4$
$\log 12 - \log x + \log y^2$
$\log_6 x^2 - \log_6 x - \log_6 y$
$\ln 8 + \ln 6 - \ln 12$
$\ln 7 - \ln 14 + \ln 10$
$\log_{11} 22 + \log_{11} 5 - \log_{11} 55$

Expande las siguiente funciones logarítmicas.

$\log_6 (5x)$
$\log_3 (abc)$
$\log \left(\frac{a^2}{b}\right)$
$\log_9 \left(\frac{xy}{5}\right)$
$\log \left(\frac{2x}{y}\right)$
$\log \left(\frac{8x^2}{15}\right)$
$\log_4 \left(\frac{5}{9y}\right)$
14. Escribe una demostración algebraica de la Propiedad del Cociente. Comienza con la expresión $\log_a x - \log_a y$ y las ecuaciones $\log_a x=m$ y $\log_a y=n$ Revisa la demostración del la propiedad del producto en el Ejemplo A como guía para tu demostración.

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