Propiedad de Potencia de los Logaritmos

En esta sección, utilizarás la Propiedad de Potencia de los logaritmos.

La hipotenusa de un triángulo rectángulo tiene una longitud de $\log_3 27^8$ . ¿Cuál es la longitud de la hipotenusa del triángulo?

Orientación

La última propiedad de los logaritmos es la Propiedad de Potencia. .

$\log_b x=y$

Al usar la definición de un logaritmo, tenemos que $b^y=x$ . Ahora, eleva ambos lados a la potencia de $n$ .

$(b^y)^n &= x^n \\\b^{ny} &= x^n$

Transformemos esto nuevamente a un logaritmo con base $b$ , $\log_b x^n=ny$ . Si reemplazamos $y$ , obtenemos $\log_b x^n=n \log_b x$ .

Por lo tanto, la Propiedad de Potencia nos dice que si existe un exponente dentro de un logaritmo, podemos trasladarlo al frente del logaritmo.

Ejemplo A

Expande $\log_6 17x^5$ .

Solución: Para expandir este logaritmo, necesitamos usar la Propiedad del Producto y la Propiedad de Potencia.

$\log_6 17x^5 &= \log_6 17 + \log_6 x^5 \\\&= \log_6 17 + 5\log_6 x$

Ejemplo B

Expande $\ln \left(\frac{2x}{y^3}\right)^4$ .

Solución: Necesitaremos usar todas las tres propiedades para expandir este ejemplo. Debido a que la expresión dentro del logaritmo natural se encuentra encerrada entre paréntesis, comienza por mover la $4^{th}$ potencia al frente del logaritmo.

$\ln \left(\frac{2x}{y^3}\right)^4 &= 4 \ln \frac{2x}{y^3} \\\&= 4(\ln 2x - \ln y^3)\\\&= 4(\ln 2 + \ln x - 3 \ln y) \\\&= 4 \ln2 + 4 \ln x - 12 \ln y$

Dependiendo de cómo quiere tu profesor que sea tu respuesta, puedes evaluar $4\ln2 \approx 2.77$ , lo que hace que tu respuesta final sea $2.77 + 4\ln x - 12\ln y$ .

Ejemplo C

Condensa $\log 9 - 4\log 5 - 4\log x + 2\log 7 + 2\log y$ .

Solución: Esto es lo contrario a los dos ejemplos anteriores. Comienza con la propiedad de Potencia.

$&\log 9 - 4\log 5 - 4\log x + 2\log7 + 2\log y \\\&\log 9 - \log 5^4 - \log x^4 + \log 7^2 + \log y^2$

A continuación, comienza a cambiar las cosas a división y multiplicación dentro de un solo logaritmo.

$\log \frac{9 \cdot 7^2 y^2}{5^4 x^4}$

Por último, combina los términos semejantes.

$\log \frac{441 y^2}{625 x^4}$

Revisión del Problema Introductorio Podemos reescribir $\log_3 27^8$ y $8\log_3 27$ y resolver.

$8\log_3 27\\\= 8 \cdot 3\\\= 24$

Por lo tanto, la hipotenusa del triángulo tiene una longitud de 24 unidades.

Práctica Guiada

Expande las siguientes expresiones logarítmicas.

1. $\ln x^3$

2. $\log_{16} \frac{x^2 y}{32 z^5}$

3. $\log (5c^4)^2$

4. Condensa a un solo logaritmo: $\ln 5 - 7 \ln x^4 + 2 \ln y$ .

Respuestas

1. Lo único que se debe hacer aquí es aplicar la Propiedad de Potencia: $3 \ln x$ .

2. Comencemos por utilizar la Propiedad del Cociente.

$\log_{16} \frac{x^2 y}{32 z^5} = \log_{16} x^2y - \log_{16} 32z^5$

A continuación, aplica la Propiedad del Producto y luego, la Propiedad de Potencia.

$&= \log_{16}x^2 + \log_{16} y - \left(\log_{16} 32 + \log_{16} z^5 \right) \\\&= 2 \log_{16} x + \log_{16} y - \frac{5}{4} -5 \log_{16}z$

Simplifica $\log_{16} 32 \rightarrow 16^n = 32 \rightarrow 2^{4n} = 2^5$ resuelve $n$ . Además, fíjate que encerramos el segundo logaritmo entre paréntesis una vez que fue expandido para asegurar que la $z^5$ también fuera restada (ya que se encontraba en el denominador de la expresión original).

3. también fuera restada (ya que se encontraba en el denominador de la expresión original).

$\log (5c^4)^2 &= 2 \log 5c^4 \\\&= 2(\log 5 + \log c^4) \\\&= 2(\log 5 + 4 \log c) \\\&= 2 \log 5 + 8 \log c$

Nota importante: Puedes escribir este logaritmo en particular de muchas formas diferentes. Estos son logaritmos equivalentes: $\log 25 + 8 \log c, \log 25 + \log c^8$ y $\log 25c^8$ . Debido a estas propiedades, existen muchas formas diferentes de escribir un logaritmo.

4. Para condensar esta expresión en un solo logaritmo, necesitaremos usar todas las tres propiedades.

$\ln 5 - 7 \ln x^4 + 2 \ln y &= \ln 5 - \ln x^{28} + \ln y^2 \\\&= \ln \frac{5 y^2}{x^{28}}$

Nota importante: Si el problema fuera $\ln 5 - (7 \ln x^4 + 2 \ln y)$ , entonces la respuesta hubiera sido $\ln \frac{5}{x^{28}y^2}$ . Sin embargo, ya que no existen paréntesis, la $y^2$ está en el numerador.

Vocabulario

Propiedad de Potencia: Si $b \ne 1$ , entonces $\log_b x^n = n \log_b x$ .

Práctica

entonces

$\log_7 y^2$
$\log_{12} 5z^2$
$\log_4 (9x)^3$
$\log \left(\frac{3x}{y}\right)^2$
$\log_8 \frac{x^3 y^2}{z^4}$
$\log_5 \left(\frac{25x^4}{y}\right)^2$
$\ln \left(\frac{6x}{y^3}\right)^{-2}$
$\ln \left(\frac{e^5 x^{-2}}{y^3}\right)^6$

Condensa las siguientes expresiones logarítmicas.

$6 \log x$
$2 \log_6 x + 5 \log_6 y$
$3(\log x - \log y)$
$\frac{1}{2} \log(x+1) - 3 \log y$
$4 \log_2 y + \frac{1}{3} \log_2 x^3$
$\frac{1}{5} \left[10 \log_2 (x-3) + \log_2 32 - \log_2 y \right]$
$4 \left[\frac{1}{2} \log_3 y - \frac{1}{3} \log_3 x - \log_3 z \right]$

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