Resolver Ecuaciones Exponenciales

En esta sección, aprenderás a resolver ecuaciones exponenciales.

"Estoy pensando en un número", le dices a tu mejor amigo. "El número en el que estoy pensando satisface a la ecuación $4^{x + 1} = 256$ . ¿En qué número estás pensando?

Orientación

Hasta ahora, solo hemos resuelto ecuaciones exponenciales bastante básicas, como el ejercicio número 1 en la Lista de Repaso anterior. Sabemos que $x=5$ , porque $2^5=32$ . Algunos como el ejercicio número 4 son un poco más complicados, pero si ponemos todo en una potencia de 2, podemos hacer que los exponentes sean iguales entre sí y resolver el problema.

$8^x &= 128 \\\2^{3x} &= 2^7 \\\3x &= 7 \\\x &= \frac{7}{3}$

Entonces, $8^{\frac{7}{3}} = 128$ .

Sin embargo, ¿qué sucede cuando la potencia no se encuentra fácilmente? Debemos utilizar logaritmos y luego la propiedad de potencia para resolver el exponente.

Ejemplo A

Resuelve $6^x=49$ . Redondea tu respuesta a tres cifras decimales.

Solución: Para resolver esta ecuación exponencial, utilicemos el logaritmo a ambos lados. Los logaritmos más sencillos para utilizar son $\ln$ (el logaritmo natural) o log (logaritmo con base 10). En este caso, utilizaremos el logaritmo natural.

$6^x &= 49 \\\\ln 6^x &= \ln 49 \\\x \ln 6 &= \ln 49 \\\x &= \frac{\ln 49}{\ln 6} \approx 2.172$

Ejemplo B

Resuelve $10^{x-3}=100^{3x+11}$ .

Solución: Transforma 100 a una potencia de 10.

$10^{x-3} &= 10^{2(3x+11)} \\\x-3 &= 6x+22 \\\-25 &= 5x \\\-5 &= x$

Ejemplo C

Resuelve $8^{2x-3}-4=5$ .

Solución: Suma 4 a ambos lados y luego aplica el logaritmo a ambos lados.

$8^{2x-3}-4 &= 5 \\\8^{2x-3} &= 9 \\\\log 8^{2x-3} &= \log 9 \\\(2x-3)\log 8 &= \log 9 \\\2x-3 &= \frac{\log 9}{\log 8} \\\2x &= 3 + \frac{\log 9}{\log 8} \\\x &= \frac{3}{2}+\frac{\log 9}{2 \log 8} \approx 2.56$

Fíjate que no encontramos el valor numérico de $\log9$ o $\log8$ hasta el final. Esto asegurará que obtengamos la respuesta más exacta.

Revisión del Problema Introductorio Podemos reescribir la ecuación $4^{x + 1} = 256$ como $2^{2(x+1)} = 2^8$ y resolver la x .

$2^{2(x+1)} = 2^8\\\2^{2x +2} = 2^8\\\2x + 2 = 8\\\x = 3$

Por lo tanto, estás pensando en el número 3.

Práctica Guiada

Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales.

1. $4^{x-8}=16$

2. $2(7)^{3x+1} =48$

3. $\frac{2}{3} \cdot 5^{x+2}+9=21$

Respuestas

1. Transforma 16 a $4^2$ e iguala los exponentes.

$4^{x-8} &= 16 \\\4^{x-8} &= 4^2 \\\x-8 &= 2 \\\x &=10$

2. Divide por 2 a ambos lados y luego aplica logaritmo a ambos lados.

$2(7)^{3x+1} &= 48 \\\7^{3x+1} &= 24 \\\\ln 7^{3x+1} &= \ln 24 \\\(3x+1)\ln 7 &= \ln 24 \\\3x+1 &= \frac{\ln 24}{\ln 7} \\\3x &= -1 + \frac{\ln 24}{\ln 7} \\\x &= -\frac{1}{3} + \frac{\ln 24}{3 \ln 7} \approx 0.211$

3. Resta 9 a ambos lados y multiplica por $\frac{3}{2}$ . ambos lados. Luego aplica logaritmo a ambos lados.

$\frac{2}{3} \cdot 5^{x+2}+9 &= 21 \\\\frac{2}{3} \cdot 5^{x+2} &= 12 \\\5^{x+2} &= 18 \\\(x+2)\log 5 &= \log 18 \\\x &= \frac{\log 18}{\log 5}-2 \approx -0.204$

Práctica

Utiliza logaritmos y una calculadora para resolver $x$ . en las siguientes ecuaciones. Redondea tus respuestas a tres cifras decimales.

$5^x = 65$
$7^x = 75$
$2^x = 90$
$3^{x-2} = 43$
$6^{x+1}+3=13$
$6(11^{3x-2})=216$
$8+13^{2x-5}=35$
$\frac{1}{2} \cdot 7^{x-3}-5=14$

Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales sin el uso de una calculadora.

$4^x=8$
$9^{x-2} = 27$
$5^{2x+1}=125$
$9^3=3^{4x-6}$
$7(2^{x-3})=56$
$16^x \cdot 4^{x+1}=32^{x+1}$
$3^{3x+5}=3 \cdot 9^{x+3}$

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