Resolver Ecuaciones Logarítmicas

En esta sección, aprenderás a resolver una ecuación logarítmica con cualquier base.

"Estoy pensando en otro número", le dices a tu mejor amigo. "El número en el que estoy pensando satisface la ecuación $\log 10x^2 - \log x = 3$ ." ¿En qué número estás pensando?

Orientación

Una ecuación logarítmica tiene la variable dentro del logaritmo. Para resolver una ecuación logarítmica, necesitarás utilizar la propiedad inversa, $b^{\log_b x}=x$ , para eliminar el logaritmo.

Ejemplo A

Resuelve $\log_2(x+5)=9$ .

Solución: Existen dos formas diferentes de resolver esta ecuación. La primera forma es utilizar la definición de un logaritmo.

$\log_2(x+5) &= 9 \\\2^9 &= x+5 \\\512 &= x+5 \\\507 &= x$

La segunda forma de resolver esta ecuación es poner todo con un exponente de 2 y, luego, utilizar la propiedad inversa.

$2^{\log_2(x+5)} &= 2^9 \\\x+5 &= 512 \\\x &= 507$

Asegúrate de comprobar tus respuestas a ecuaciones logarítmicas. Puede haber veces en las que obtengas una solución extraña $\log_2(507+5)=9 \rightarrow \log_2 512=9$

Ejemplo B

Resuelve $3 \ln(-x)-5=10$ .

Solución: Primero, suma 5 a ambos lados y luego divide por 3 para despejar el logaritmo natural.

$3 \ln(-x)-5 &= 10 \\\3 \ln(-x) &= 15 \\\\ln(-x)&= 5$

Recuerda que el inverso del logaritmo natural es el número natural. Por lo tanto, necesitas poner todo con un exponente $e$ para poder deshacerte del logaritmo.

$e^{\ln(-x)} &= e^5 \\\-x &= e^5 \\\x &= -e^5 \approx -148.41$

Al comprobar la respuesta, tenemos $3 \ln(-(-e^5))-5=10 \rightarrow 3\ln e^5 -5 =10 \rightarrow 3 \cdot 5-5=10$

Ejemplo C

Resuelve $\log 5x + \log(x-1)=2$

Solución: Condensa el lado izquierdo mediante el uso de la Propiedad del Producto.

$\log 5x + \log (x-1)=2 \\\\log [5x(x-1)]=2 \\\\log (5x^2-5x)=2$

Ahora, pon todo con un exponente de 10 y resuelve $x$ .

$10^{\log(5x^2-5x)} &= 10^2 \\\5x^2 - 5x &= 100 \\\x^2-x-20 &= 0 \\\(x-5)(x+4) &= 0 \\\x &=5, -4$

A continuación, comprueba ambas respuestas.

$\log 5(5) + \log(5-1) &= 2 \qquad \qquad \log5(-4) + \log((-4)-1)= 2 \\\\log 25 + \log 4 &= 2 \qquad \qquad \quad \ \log(-20) + \log(-5) = 2 \\\\log 100 &= 2$

-4 es una solución extraña. En el paso $\log(-20) + \log(-5)=2$ , no podemos tomar el logaritmo de un número negativo, por lo tanto, -4 no es una solución. La única solución al problema es 5.

Revisión del Problema Introductorio Podemos reescribir $\log 10x^2 - \log x = 3$ Podemos reescribir $\log {\frac{10x^2}{x}} = 3$ y resolver x .

$\log {\frac{10x^2}{x}} = 3\\\\log 10x = 3\\\10^{\log10x} = 10^3\\\10x = 1000\\\x = 100$

Por lo tanto, el número en el que estás pensando es 100.

Práctica Guiada

Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas.

1. $9 + 2 \log_3 x=23$

2. $\ln (x-1)-\ln(x+1)=8$

3. $\frac{1}{2}\log_5(2x+5)=5$

Respuestas

1. Despeja el logaritmo y pon todo con un exponente de 3.

$9 + 2 \log_3 x &= 23 \\\2 \log_3 x &= 14 \\\\log_3 x &= 7 \\\x &= 3^7=2187$

2. Condensa el lado izquierdo mediante el uso de la Regla del Cociente y pon todo con un exponente de $e$ .

$\ln(x-1) - \ln(x+1) &=8 \\\\ln \left(\frac{x-1}{x+1}\right) &= 8 \\\\frac{x-1}{x+1} &= \ln 8 \\\x-1 &=(x+1) \ln 8 \\\x-1 &= x \ln 8 + \ln 8 \\\x-x \ln 8 &= 1 + \ln 8 \\\x(1- \ln 8) &= 1 + \ln 8 \\\x &= \frac{1+ \ln 8}{1- \ln 8} \approx -2.85$

Al comprobar nuestra respuesta, obtenemos $\ln (-2.85-1) - \ln (2.85+1)=8$ , lo que no sirve, porque el primer logaritmo natural es un número negativo. Por lo tanto, no existe solución para esta ecuación.

3. Multiplica por 2 a ambos lados y pon todo con un exponente de 5.

$\frac{1}{2} \log_5(2x+5)&= 2 \\\\log_5(2x+5)&=4 \\\2x+5 &= 625 \\\2x &=620 \\\x &= 310$

Práctica

Utiliza las propiedades de los logaritmos y una calculadora para resolver $x$ . en las siguientes ecuaciones. Redondea las respuestas a tres cifras decimales y comprueba los problemas para encontrar soluciones extrañas.

$\log_2 x =15$
$\log_{12} x = 2.5$
$\log_9 (x-5) =2$
$\log_7(2x+3)=3$
$8 \ln(3-x)=5$
$4 \log_3 3x-\log_3 x=5$
$\log(x+5) + \log x = \log 14$
$2 \ln x - \ln x =0$
$3 \log_3(x-5) = 3$
$\frac{2}{3} \log_3 x=2$
$5 \log \frac{x}{2} -3 \log \frac{1}{x} = \log 8$
$2 \ln x^{e+2} - \ln x=10$
$2 \log_6 x+1 = \log_6(5x+4)$
$2 \log_{\frac{1}{2}}x+2=\log_{\frac{1}{2}}(x+10)$
$3 \log_{\frac{2}{3}} x-\log_{\frac{2}{3}} 27 = \log_{\frac{2}{3}}8$