Variación Directa

En esta sección, determinarás si un conjunto de datos se relaciona directamente.

De acuerdo a la segunda ley de Newton, la fuerza neta (F) de un objeto es igual a su masa (m) multiplicada por su aceleración (a), en donde F se mide en Newtons, m se mide en kilogramos y a se mide en metros/segundos al cuadrado. Si un objeto con una aceleración de 8 metros/segundos al cuadrado tiene una fuerza de 24 Newtons, ¿Cuál es la fuerza del objeto cuando su aceleración es 12 metros/segundos al cuadrado?

Orientación

Decimos que un conjunto de datos se relaciona directamente si las variables independiente y dependiente se hacen grandes o pequeñas juntas. Por ejemplo, la ecuación de la línea $y=2x$ representaría una relación de variación directa. A medida que $x$ se hace más grande, también lo hará $y$ . De hecho, la ecuación de variación directa es $y=kx, k \neq 0,$ la que luce tal como la ecuación de una línea sin un intercepto en $y$ -. Denominamos a $k$ la constante de variación e $y$ debe variar directamente con $x$ . También se puede escribir $k$ como $k=\frac{y}{x}$ .

Ejemplo A

Las variables $x$ e $y$ varían directamente e $y = 10$ cuando $x = 2$ . Escribe una ecuación que relacione $x$ e $y$ y encuentra $y$ cuando $x = 9$ .

Solución: Usando la ecuación de variación directa, podemos sustituir en $x$ y en $y$ y encontrar $k$ .

$y &= kx \\\10 &= k(2) \\\5 &= k$

Por lo tanto, la ecuación es $y=5x$ . Para encontrar $y$ cuando $x$ es 9, tenemos $y=5 \cdot 9=45$ .

Ejemplo B

Determina si este conjunto de datos varía directamente. Si es así, encuentra la ecuación de variación directa.

$x$	4	8	16	20
$y$	1	2	4	5

Solución: Si miramos el conjunto de datos, veremos que los valores de $x$ incrementan. Para que los datos varíen directamente, los valores de $y$ también deberían incrementar, y lo hacen. Para encontrar la ecuación, usa el primer punto y encuentra $k$ .

$y &= kx\\\1 &= k(4)\\\\frac{1}{4} &= k$

Así, la ecuación del primer punto es $y=\frac{1}{4}x$ . Reemplaza cada punto en la ecuación para asegurarte que esté bien.

$2= \frac{1}{4}(8) \qquad 4= \frac{1}{4}(16) \qquad 5= \frac{1}{4}(20)$

Ejemplo C

El número de calorías, $C$ , que una persona quema al hacer ejercicio varía directamente con la cantidad de tiempo que le dedica a esto, $t$ (en minutos). Una persona de 150 libras puede quemar 207 calorías al nadar por 30 minutos. Escribe un modelo de variación para $C$ como una función de $t$ . Entonces, determina cuánto tiempo le llevará a esa persona quemar 520 calorías.

Solución: Reemplaza los valores que conoces en el modelo de variación directa y resuelve para encontrar $k$ .

$C&=kt \\\207&=k(30) && \text{The model for a} \ 150\text{-pound person is} \ C=6.9 t. \\\6.9&=k$

Para encontrar cuánto le llevaría a esta persona quemar 520 calorías, resuelve $t$ .

$520&=6.9 t && \text{It will take} \ 75.4 \ \text{minutes to burn} \ 520 \ \text{calories}.\\\75.4&=t$

Revisión del Problema Introductorio Si escribimos la segunda ley de Newton como una ecuación, obtenemos $F = ma$ . Ahora podemos ver que este es un ejemplo de una ecuación de variación directa, donde $y = F$ , $m = k$ , y $a = x$ . Usando la ecuación de variación directa, podemos sustituir en $F$ y en $a$ y encontrar $m$ .

$F &= ma \\\24 &= m(8) \\\3 &= m$

Por lo tanto, la masa del objeto es 3 kg, pero buscamos su fuerza cuando su aceleración es 12 metros/segundos al cuadrado. Por lo tanto, usamos la fórmula de nuevo.

$F &= ma \\\F &= (3)(12) \\\F &= 36$

Por lo tanto, la fuerza del objeto es 36 Newtons.

Práctica Guiada

1. $x$ e $y$ varían directamente. Cuando $x=-8, y=-6$ . Encuentra la ecuación y determina $x$ cuando $y=12$ .

2. Determina si el conjunto siguiente varía directamente.

$x$	1	2	3	4	5
$y$	2	4	8	16	20

3. El sueldo de Taylor varía directamente con el número de horas que trabaja. Si trabajó 60 horas la semana pasada y ganó $900, ¿Cuánto gana por cada hora? Establece una ecuación de variación directa.

Respuestas

1. Primero, resuelve para buscar $k$ .

$k=\frac{y}{x}=\frac{-6}{-8}=\frac{3}{4} \rightarrow y=\frac{3}{4}x$

Ahora, sustituye por 12 en $y$ y encuentra $x$ .

$12&=\frac{3}{4}x \\\\frac{4}{3} \cdot 12&=x \\\16&=x \\\$

2. A primera vista, parece que ambos valores se incrementan juntos. Revisemos para ver si $k$ es igual en cada conjunto de puntos.

$k=\frac{y}{x}=\frac{2}{1}=\frac{4}{2} \ne \frac{8}{3}$

Ahora, podemos detenernos porque el punto $(3, 8)$ no tiene el mismo ratio que los primeros dos puntos. Por lo tanto, este conjunto de datos no varía directamente.

3. Queremos encontrar el sueldo por hora de Taylor, que es la constante de la variación.

$k=\frac{900}{60}=15$ , él gana $15 por hora. La ecuación sería $y=15x$ .

Vocabulario

Variación Directa: Cuando la variable dependiente se hace más grande o más pequeña al mismo tiempo que la variable independiente.

Constante de Variación: El ratio por el cual la variable dependiente crece, $k$ , en $y=kx$ .

Práctica

Para los problemas del 1 al 4, usa los valores de $x$ e $y$ dados para escribir una ecuación de variación directa y encontrar $y$ si se establece que $x =12$ .

$x=3,y=15$
$x=9,y=-3$
$x=\frac{1}{2},y=\frac{1}{3}$
$x=-8,y=\frac{4}{3}$

Para los problemas del 5 al 8, usa los valores de $x$ e $y$ dados para escribir una ecuación de variación directa y encontrar $x$ si se establece que $y=2$ .

$x=5,y=4$
$x=18,y=3$
$x=7,y=-28$
$x=\frac{2}{3},y=\frac{5}{6}$

Determina si los siguientes conjuntos de datos varían directamente.

$x$	12	16	5	20
$y$	3	4	1	5

$x$	2	10	5	6
$y$	14	70	35	42

$x$	2	8	18	34
$y$	3	12	27	51

Resuelve los siguientes problemas usando la ecuación de variación directa.

Basada en su peso y su ritmo, Kate quema 586 calorías cuando corre 5 millas. ¿Cuántas calorías quemará si solo corre 3 millas? ¿Cuántas millas (una aproximación a la milla más cercana) necesita correr cada semana si quiere quemar una libra (3500 calorías) de grasa corporal cada semana?
En un viaje por la carretera, Mark y Bill avanzan 450 millas en 8 horas, incluidas las paradas. Si mantienen el mismo ritmo, ¿Cuántas millas (una aproximación a la milla más cercana) avanzarán desde su punto de partida en 15 horas de viaje?
Luego de tres horas en un lavado de autos a beneficio, el Club de Matemáticas ganó $240 al lavar 48 autos. ¿Cuánto cobraron por cada lavado de auto? ¿Cuántos autos más deben lavar si quieren alcanzar su meta de ganar $400?
Dorothy ganó $900 la semana pasada por trabajar 36 horas. ¿Cuál es su salario por hora? Si trabaja a tiempo completo (40 horas), ¿Cuánto ganará en una semana?