Variación Inversa

En esta sección, determinarás si un conjunto de datos se relaciona indirectamente.

La fuerza, F , requerida para que un estudiante de karate rompa una tabla varía inversamente con el largo de la tabla, L . Se necesitan 21 libras de presión para romper una tabla con un largo de 3 pies. ¿Cuántas libras de presión se necesitan para romper una tabla con un largo de 2 pies?

Orientación

Decimos que un conjunto de datos se relaciona inversamente si la variable independiente incrementa mientras que la variable dependiente disminuye o viceversa. Por ejemplo, mientras más lejos estés de un objeto, más pequeño lo verás. En la variación inversa, las variables se relacionan inversamente. A medida que $x$ se hace más grande, $y$ se hará más pequeña. La ecuación de variación inversa es $y=\frac{k}{x};k,x \ne 0$ . Denominamos a $k$ la constante de variación e $y$ debe variar inversamente con $x$ . También se puede escribir $k$ como $k=xy$ .

Ejemplo A

Las variables $x$ e $y$ varían inversamente e $y=7$ cuando $x=2$ . Escribe una ecuación que relacione $x$ e $y$ y encuentra $y$ cuando $x=-6$ .

Solución: Usando la ecuación de variación inversa, podemos sustituir en $x$ y en $y$ y encontrar $k$ .

$k&=yx \\\k&=7 \cdot 2 \\\k&=14$

Por lo tanto, la ecuación es $y=\frac{14}{x}$ . Para encontrar $y$ cuando $x$ es -6, tenemos $y=\frac{14}{-6}=- \frac{7}{3}$ .

Ejemplo B

Determina si este conjunto de datos varía directamente, inversamente o ninguna de las dos formas. Si es posible, encuentra la ecuación.

$x$	1	2	3	4
$y$	12	6	4	3

Solución: Si miramos el conjunto de datos, veremos que los valores de $x$ incrementan. Para que los datos varíen directamente, los valores de $y$ también deberían incrementar y no lo hacen. Así, esta podría ser una relación inversa. Veamos si $k$ es igual en cada conjunto de puntos.

$k&=1 \cdot 12=12 \\\k&=2 \cdot 6 \ =12 \\\k&=3 \cdot 4 \ =12 \\\k&=4 \cdot 3 \ =12$

Así, en cada conjunto de puntos, $k = 12$ . Por lo tanto, la ecuación es $y=\frac{12}{x}$ . Si $k$ no es igual, entonces la respuesta hubiese sido ninguna.

Ejemplo C

Sherry está conduciendo de San Francisco hacia Los Ángeles (380 millas). ¿Cuánto tiempo le tomará si maneja a 65 millas por hora (el límite de velocidad)? ¿A qué velocidad debe conducir si quiere llegar a Los Ángeles en cinco horas y media?

Solución: Mientras más rápido conduzca Sherry, menos tiempo le tomará llegar a Los Ángeles. Por lo tanto, esta es una relación inversa. $y$ es el tiempo que lleva conduciendo, $k$ representa las 380 millas entre Los Ángeles y San Francisco y $x$ es la velocidad.

$y=\frac{380}{x}$

Por lo tanto, le tomará $y=\frac{380}{65} \approx 5.85$ horas, que sería 5 horas y 51 minutos. Para llegar en 5 horas y media, tendría que conducir a $5.5=\frac{380}{x} \rightarrow 5.5x=380 \rightarrow x=69.1$ millas por hora.

Revisión del Problema Introductorio Sabemos que esta es una variación inversa, por lo que podemos usar la ecuación de variación inversa $y=\frac{k}{x}$ . En este caso, y es igual a la fuerza y x es igual al largo de la tabla.

$F = \frac{k}{L}\\\21 = \frac{k}{3}\\\k = 63$

Encontramos la constante de variación, así que ahora usamos la ecuación una segunda vez para encontrar la fuerza cuando el largo de la tabla es de 2 pies.

$F = \frac{63}{2}\\\F = 31.5$

Por lo tanto, se necesitan 31,5 libras de presión para romper una tabla con un largo de 2 pies.

Práctica Guiada

1. $x$ e $y$ varían inversamente. Cuando $x = 3, y = -5$ . Encuentra la ecuación y determina $x$ cuando $y = 12$ .

2. Determina si el conjunto siguiente varía directa o inversamente.

$x$	1	2	3	4	5
$y$	2	6	12	24	36

3. A un trabajador le toma 12 horas completar un trabajo específico. Si dos trabajadores hacen el mismo trabajo, les toma 6 horas terminarlo. ¿Qué tipo de relación es esta? ¿Cuánto tiempo les llevará a 6 trabajadores hacer el mismo trabajo?

Respuestas

1. Primero, resuelve para buscar $k$ .

$k=xy \rightarrow 3 \cdot -5&=-15 \\\y&=- \frac{15}{x}$

Ahora, sustituye por 12 en $y$ y encuentra $x$ .

$12&=- \frac{15}{x} \\\12x&=-15 \\\x&=- \frac{5}{4}$

2. A primera vista, parece que ambos valores se incrementan juntos, por lo que sabemos que el conjunto no varía inversamente. Revisemos con la variación directa para determinar si $k$ es igual en cada conjunto de puntos.

$k=xy=2 \ne 3 \ne 4 \ldots$

Ninguno de estos puntos tiene el mismo ratio; por lo tanto, el conjunto de datos no varía ni inversa ni directamente.

3. Esta es una relación inversa porque a medida que crece el número de trabajadores, el número de horas que les lleva completar el trabajo disminuye. $k=12 \cdot 1=2 \cdot 6=12$ y la ecuación de variación inversa es $y=\frac{12}{x}$ . A 6 trabajadores les tomará $y=\frac{12}{6}=2 \ hours$ completar el trabajo.

Vocabulario

Variación Inversa: Cuando la variable dependiente se hace más grande o más pequeña y la variable independiente realiza la acción opuesta.

Práctica

Para los problemas del 1 al 4, las variables $x$ e $y$ varían inversamente. Usa los valores de $x$ e $y$ dados para escribir una ecuación de variación inversa y encontrar $y$ si se establece que $x =15$ .

$x=4,y=3$
$x=\frac{1}{5},y=10$
$x=8,y=\frac{3}{4}$
$x=\frac{2}{3},y=\frac{15}{8}$

Para los problemas del 5 al 8, las variables $x$ e $y$ varían inversamente. Usa los valores de $x$ e $y$ dados para escribir una ecuación de variación inversa y encontrar $x$ si se establece que $y = 2$ .

$x=6,y=\frac{2}{3}$
$x=16,y=\frac{3}{8}$
$x=\frac{4}{5},y=9$
$x=\frac{5}{6},y=\frac{18}{5}$

Determina si los siguientes conjuntos de datos varían inversamente.

$x$	12	6	9	2
$y$	3	6	4	18

$x$	4	7	2	8
$y$	10	6	20	5

$x$	9	6	12	21
$y$	28	42	21	12

Resuelve los siguientes problemas usando la ecuación de variación inversa.

En una fiesta, hay 3 pizzas para repartir. Si cada pizza tiene 8 pedazos, determina cuántos pedazos recibirá cada niño si asistieron 12 a la fiesta. ¿Y si asistieron 8 niños? Escribe una ecuación de variación inversa para determinar cuántos pedazos recibirá cada niño si hay $x$ niños en la fiesta.
Cuando Lionel conduce de Barcelona a Madrid, 390 millas, le toma alrededor de 6 horas y media. ¿A qué velocidad debe conducir para realizar el viaje en 5 horas?
Alena y Estella pueden completar un trabajo en 18 horas cuando trabajan juntas. Si invitan a Tommy para que las ayude, ¿Cuánto tiempo les tomará el trabajo? ¿Cuántos amigos necesitan trabajar juntos en el trabajo para completarlo en 4 horas?
La temperatura del océano Pacífico varía inversamente con la profundidad. Si la temperatura a los 2.000m es 2,2 grados Celsius, ¿Cuál es la temperatura a una profundidad de 4.000m?

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