Variación Conjunta

En esta sección, definirás y usarás la variación conjunta.

El volumen de un cilindro varía conjuntamente con el cuadrado del radio y la altura. Si el volumen del cilindro es $64 \ units^3$ y el radio es $4 units$ , ¿Cuál es la altura del cilindro?

Orientación

El último tipo de variación se llama variación conjunta . Este tipo de variación involucra tres variables, por lo general $x, y$ y $z$ . Por ejemplo, en geometría, el volumen de un cilindro varía conjuntamente con el cuadrado del radio y la altura. En esta ecuación, la constante de variación es $\pi$ , por lo que tenemos $V= \pi r^2h$ . En general, la ecuación de variación conjunta es $z=kxy$ . Para encontrar $k$ , también tenemos $k=\frac{z}{xy}$ .

Ejemplo A

Escribe una ecuación para las relaciones dadas.

a) $y$ varía inversamente con el cuadrado de $x$ .

b) $z$ varía conjuntamente con $x$ y la raíz cuadrada de $y$ .

c) $z$ varía directamente con $x$ e inversamente con $y$ .

Solución:

a) $y=\frac{k}{x^2}$

b) $z=kx \sqrt{y}$

c) $z=\frac{kx}{y}$

Ejemplo B

$z$ varía conjuntamente con $x$ e $y$ . Si $x = 3, y = 8,$ y $z = 6$ , encuentra la ecuación de variación. Entonces, encuentra $z$ cuando $x = -2$ e $y = 10$ .

Solución: Usando la ecuación para encontrar el valor de $k$ , tenemos:

$k=\frac{z}{xy}=\frac{6}{3 \cdot 8}=\frac{1}{4}$ , por lo que la ecuación es $z=\frac{1}{4}xy$ .

Cuando $x = -2$ e $y = 10$ , cuando $z=\frac{1}{4} \cdot -2 \cdot 10=-5$ .

Ejemplo C

Conexión con la Geometría El volumen de una pirámide varía conjuntamente con el área de la base y la altura con una constante de variación de $\frac{1}{3}$ . Si el volumen es $162 \ units^3$ y el área de l base es $81 \ units^2$ , encuentra la altura.

Solución: Primero, encuentra la ecuación de variación conjunta.

$V=\frac{1}{3} \ Bh$

Ahora, sustituye con lo que sabes para encontrar la altura.

$162&=\frac{1}{3} \cdot 81 \cdot h \\\162&=27 \ h \\\6&=h$

Revisión del Problema Introductorio La fórmula para el volumen de un cilindro, $V= \pi r^2h$ , es una variación conjunta en la que la constante $k = \pi$ .

Por lo tanto, podemos reemplazar los valores dados y encontrar h , la altura.

$V = \pi r^2h\\\64\pi = \pi 4^2(h)\\\64\pi = 16\pi(h)\\\4 = h$

Por lo tanto, el cilindro tiene una altura de 4 unidades.

Práctica Guiada

1. Escribe la ecuación para $z$ , que varía conjuntamente con $x$ y el cubo de $y$ e inversamente con la raíz cuadrada de $w$ .

2. $z$ varía conjuntamente con $y$ y $x$ . Si $x = 25, z = 10,$ y $k=\frac{1}{5}$ . Encuentra $y$ .

3. La energía cinética $P$ (la energía que un objeto posee mientras está en movimiento) varía conjuntamente con la masa $m$ (en kilogramos) de ese objeto y el cuadrado de la velocidad $v$ (en metros por segundo). La constante de variación es $\frac{1}{2}$ .

a) Escribe la ecuación para la energía cinética.

b) Si un auto viaja a 140 km/hr y pesa 8.800 kg, ¿Cuál es su energía cinética?

Respuestas

1. $z=\frac{kxy^3}{\sqrt{w}}$

2. La ecuación sería $z=\frac{1}{5}xy$ . Para encontrar $y$ , tenemos:

$10&=\frac{1}{5} \cdot 25 \cdot y \\\10&=5y \\\2&=y$

3. a) $P=\frac{1}{2} \ mv^2$

b) La segunda parte de este problema no es tan fácil, ya que tenemos que convertir los km/hr en metros por segundo.

$\frac{104 \ \cancel{km}}{\cancel{hr}} \cdot \frac{\cancel{hr}}{3600 \ s} \cdot \frac{1000 \ m}{\cancel{km}}=0.44 \ \frac{m}{s}$

Ahora, pon esto en la ecuación de la parte a.

$P&=\frac{1}{2} \cdot 8800 \ kg \cdot \left(0.44 \ \frac{m}{s}\right)^2 \\\&=1955.56 \ \frac{kg \cdot m^2}{s^2}$

Normalmente, la unidad de medida de la energía cinética se llama un julio. Un julio es $\frac{kg \cdot m^2}{s^2}$ .

Vocabulario

Variación Conjunta: Una variación donde una variable depende de dos variables independientes.

Práctica

Para las preguntas 1 a la 5, escribe una ecuación que representa la relación entre las variables.

$w$ varía inversamente con respecto a $x$ e $y$ .
$r$ varía inversamente con el cuadrado de $q$ .
$z$ varía conjuntamente con $x$ e $y$ e inversamente con $w$ .
$a$ varía directamente con $b$ e inversamente con $c$ y la raíz cuadrada de $d$ .
$l$ varía directamente con $m$ , e inversamente con $p$ .

Escribe la ecuación de variación y responde las preguntas dadas en cada problema.

$z$ varía conjuntamente con $x$ e $y$ . Si $x=2,y=3$ y $z=4$ , escribe la ecuación de variación y encuentra $z$ cuando $x=-6$ e $y=2$ .
$z$ varía conjuntamente con $x$ e $y$ . Si $x=5,y=-1$ y $z=10$ , escribe la ecuación de variación y encuentra $z$ cuando $x=- \frac{1}{2}$ e $y=7$ .
$z$ varía conjuntamente con $x$ e $y$ . Si $x=7,y=3$ y $z=-14$ , escribe la ecuación de variación y encuentra $y$ cuando $z=-8$ e $x=3$ .
$z$ varía conjuntamente con $x$ e $y$ . Si $x=8,y=-3$ y $z=-6$ , escribe la ecuación de variación y encuentra cuando $x$ cuando $z=12$ e $y=-16$ .
$z$ varía inversamente con $x$ y directamente con $y$ . Si $x=4,y=48$ y $z=-2$ , escribe la ecuación de variación y encuentra $x$ cuando $z=8$ e $y=96$ .
$z$ varía inversamente con $x$ y directamente con $y$ . Si $x=\frac{1}{2},y=5$ e $z=20$ , escribe la ecuación de variación y encuentra $x$ cuando $z=-4$ y $y=8$ .

Resuelve los siguientes problemas usando la ecuación de variación.

Si 20 voluntarios pueden lavar 100 autos en 2 horas y media, encuentra la constante de variación y descubre cuántos autos pueden lavar 30 voluntarios en 3 horas.
Si 10 estudiantes de un club medioambiental pueden limpiar la basura en un tramo de camino de 2 millas en una hora, encuentra la constante de variación y determina cuánto tiempo les tomaría limpiar el mismo tramo de camino si solo 8 estudiantes van a limpiar.
El trabajo $W$ (en julios) que se hace cuando se levanta un objeto varía conjuntamente con la masa $m$ (en kilogramos) del objeto y la altura $h$ (en metros) que se levanta el objeto. El trabajo hecho cuando se levanta un objeto de 100 kilogramos 1,5 metros es 1.470 julios. Escribe una ecuación que relacione $W, m,$ y $h$ . ¿Cuánto trabajo se hace cuando se levanta 2 metros un objeto de 150 kilogramos?
La intensidad $I$ de un sonido (en watts por metro cuadrado) varía inversamente con el cuadrado de la distancia $d$ (en metros) de la fuente del sonido. A una distancia de 1,5 metros del escenario, la intensidad del sonido en un concierto de rock es de alrededor de 9 watts por metro cuadrado. Escribe una ecuación que relacione $I$ y $d$ . Si estás sentado a 10 metros del escenario, ¿Cuál es la intensidad del sonido que escuchas?

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