Graficar Funciones Racionales en Forma Estándar

En esta sección, aprenderás como graficar funciones racionales básicas.

La forma estándar de una función racional se da por la ecuación $f(x)=\frac{a}{x-h}+k$ . ¿Cuáles son las asíntotas de esta ecuación?

Orientación

Una función racional está en la forma de $\frac{p \left(x\right)}{q \left(x\right)}$ donde $p(x)$ y $q(x)$ son polinomios y $q(x) \ne 0$ . El gráfico básico de las funciones racionales es $y=\frac{1}{x}$ , y su forma se denomina hipérbola .

$x$	$y$
$-4$	$- \frac{1}{4}$
$-2$	$- \frac{1}{2}$
$-1$	$-1$
$- \frac{1}{2}$	$-2$
$\frac{1}{2}$	2
1	1
2	$\frac{1}{2}$
4	$\frac{1}{4}$

Observa las siguientes propiedades de esta hipérbola: El eje $x$ - es una asíntota horizontal, el eje $y$ - es una asíntota vertical y el dominio y rango son números reales a excepción de donde se encuentran las asíntotas. Recuerda que la asíntota vertical es el valor que hace el denominador cero porque no podemos dividir por cero. Para la asíntota horizontal, es el valor donde el rango no está definido.

Las dos partes del gráfico se llaman ramas . En el caso con una hipérbola, las ramas siempre son simétricas alrededor del punto en donde las asíntotas se intersectan. En este ejemplo, son simétricas cerca del origen.

En esta sección, todas las funciones racionales tendrán la forma $f(x)=\frac{a}{x-h}+k$ .

Ejemplo A

Grafica $f(x)=\frac{-2}{x}$ . Encuentra todas las asíntotas, el dominio, el rango y todos los ceros.

Solución: Hagamos una tabla de valores.

$x$	$y$
1	$-2$
2	$-1$
4	$- \frac{1}{2}$

Observa que estas ramas están en el segundo y cuarto cuadrante. Esto se debe al signo negativo en frente del 2 o $a$ . Las asíntotas vertical y horizontal siguen siendo los ejes de $x$ e $y$ .No hay ceros, o interceptos de $x$ porque el eje de $x$ es un asíntota. El dominio y el rango son números reales no ceros (todos son números reales menos el cero).

Ejemplo B

Grafica $y=\frac{1}{x-5}+2$ . Encuentra todas las asíntotas, ceros, el dominio y el rango.

Solución: Para $y=\frac{1}{x-5}+2$ , la asíntota vertical es $x = 5$ porque eso haría que el denominador sea cero y no podemos dividir por cero. Cuando $x = 5$ , el valor de la función sería $y=\frac{1}{0}+2$ , lo que hace que el rango sea indefinido en $y = 2$ . La forma y la ubicación de las ramas son las mismas que el gráfico básico, solo cambió 5 unidades a la derecha y 2 unidades hacia arriba.

Por lo tanto, para la forma general de una función racional, $y=\frac{a}{x-h}+k,x=h$ es la asíntota vertical e $y=k$ es la asíntota horizontal.

El dominio es el conjunto de los números reales; $x \ne 5$ y el rango es el conjunto de los números reales; $y \ne 2$ . Para encontrar los cero, establece la función como igual a cero y busca la $x$ .

$0&=\frac{1}{x-5}+2 \\\-2&=\frac{1}{x-5} \\\-2x+10&=1 \\\-2x&=-9 \\\x&=\frac{9}{2}=4.5$

Para encontrar el intercepto en $y$ , establece $x = 0$ , y resuelve para encontrar $y$ . $y=\frac{1}{0-5}+2=- \frac{1}{5}+2=1 \frac{4}{5}$ .

Ejemplo C

Encuentra la ecuación de la siguiente hipérbola.

Solución: Sabemos que el numerador será negativo porque las ramas de la hipérbola están en el segundo y cuarto cuadrante. Las asíntotas son $x = -3$ y $y = -4$ . Hasta ahora, sabemos que $y=\frac{a}{x+3}-4$ . Para determinar $a$ , podemos usar el intercepto en $x$ dado.

$0&=\frac{a}{-3.75+3}-4 \\\4&=\frac{a}{-0.75} && \text{The equation is} \ y=\frac{-3}{x+3}-4 \\\-3&=a$

Revisión del Problema Introductorio En los ejemplos anteriores, pudimos ver que la asíntota vertical ocurre cuando el denominador de la ecuación es igual a cero y la asíntota horizontal ocurre cuando el rango es indefinido.

Cuando $x = h$ , el denominador de $f(x)=\frac{a}{x-h}+k$ es cero, por lo que $x = h$ es la asíntota vertical.

El valor de la función en $x = h$ sería $y=\frac{a}{0}+k$ , lo que hace que el rango sea indefinido en $y = k$ . Por lo tanto, $y=k$ es la asíntota horizontal.

Práctica Guiada

1. ¿Cuáles son las asíntotas de $f(x)=\frac{-1}{x+6}+9$ ? ¿Está $(-5, -8)$ en el gráfico?

Grafica las siguientes funciones racionales. Encuentra el cero, el intercepto en $y$ las asíntotas, ceros, el dominio y el rango.

2. $y=\frac{4}{x}-2$

3. $y=\frac{2}{x-1}+3$

4. Determina la ecuación de la hipérbola.

Respuestas

1. Las asíntotas son $x = -6$ e $y = 9$ . Para ver si el punto $(-5, -8)$ está en el gráfico, sustitúyelo en él por $x$ y $y$ .

$-8&=\frac{-1}{-5+6}+9 && -8 \ne 8, \ \text{therefore, the point} \ (-5, -8) \ \text{is not on the graph}. \\\-8&=-1+9$

2. No hay intercepto en $y$ porque el eje de $y$ es una asíntota. La otra asíntota es $y = -2$ . El dominio es todos los números reales; $x \ne 0$ . El rango es todos los números reales; $y \ne -2$ . El cero es:

$0&=\frac{4}{x}-2 \\\2&=\frac{4}{x} \\\2x&=4 \\\x&=2$

3. Las asíntotas son $x = 1$ y $y = 3$ . Por lo tanto, el domino es el conjunto de los números reales excepto el 1 y el rango es el conjunto de los números reales excepto el 3. El intercepto en $y$ es $y=\frac{2}{0-1}+3=-2+3=1$ y el cero es:

$0&=\frac{2}{x-1}+3 \\\-3&=\frac{2}{x-1} \\\-3x+3&=2 \\\-3x&=-1 \rightarrow x=\frac{1}{3}$

4. Las asíntotas son $x = -1, y = 3,$ lo que hace que la ecuación sea $y=\frac{a}{x+1}+3$ . Si tomamos el intercepto en $y$ , podemos encontrar $a$ .

$4&=\frac{a}{0+1}+3 && \text{The equation is} \ y=\frac{1}{x+1}+3. \\\1&=a$

Vocabulario

Función Racional: Una función con la forma $\frac{p \left(x\right)}{q \left(x\right)}$ , donde $p$ y $q$ son funciones y $q \ne 0$ .

Hipérbola: La forma de una función racional.

Ramas: Las dos partes de una hipérbola.

Práctica

¿Cuáles son las asíntotas de $y=\frac{2}{x+8}-3$ ?
¿ $(-6, -2)$ es un punto en el gráfico del ejercicio #1?
¿Cuáles son las asíntotas de $y=6- \frac{1}{x-4}$ ?
¿ $(5, 4)$ es un punto en el gráfico del ejercicio #3?

Para los problemas del 5 al 13, grafica cada función racional, establece la ecuación de las asíntotas, el dominio y el rango de los interceptos.

$y=\frac{3}{x}$
$y=\frac{1}{x}+6$
$y=-\frac{1}{x}$
$y=-\frac{1}{x+3}$
$y=\frac{1}{x+5}$
$y=\frac{1}{x-3}-4$
$y=\frac{2}{x+4}-3$
$y=\frac{5}{x}+2$
$y=3- \frac{1}{x+2}$

Escribe las ecuaciones de las hipérbolas. Puedes asumir que a = 1.

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