Graficar Cuando los Grados del Numerador y el Denominador son Iguales

En esta sección, aprenderás a cómo graficar funciones racionales cuando el numerador y el denominador tienen el mismo grado.

Darnell dice que la función $y=\frac{2x^4+5}{x^4-16}$ tiene dos asíntotas verticales, Barb dice que solo tiene una y Aruna dice que tiene cuatro. ¿Quién está en lo correcto?

Orientación

En la sección anterior, graficamos funciones en la forma $y=\frac{1}{x-h}+k$ , donde $x = h$ e $y = k$ son asíntotas. En esta sección, seguiremos graficando funciones racionales cuando el denominador y el numerador son lineales o cuadráticos. Por lo tanto, no habrá un término “ $k$ ” en esta sección. Veamos un ejemplo para determinar algún patrón al graficar este tipo de funciones racionales.

Ejemplo A

Grafica $f(x)=\frac{2x-1}{x+4}$ . Encuentra las asíntotas, los interceptos de $x$ e $y$ el dominio y el rango.

Solución: Para encontrar la asíntota vertical, debemos hacer lo mismo que antes, el valor que hace que el denominador sea cero. En este caso, $x = -4$ . Además, de la misma forma se puede encontrar los interceptos de $x$ e $y$ .

Intercepto en $y$ (cuando $x = 0$ ): $y=\frac{2 \cdot 0-1}{0+4}=- \frac{1}{4}$

Intercepto en $x$ (cuando $y = 0$ ): $0&=\frac{2x-1}{x+4} \\\0&=2x-1 \\\1&=2x \\\\frac{1}{2}&=x$

Cuando buscamos el intercepto en $x$ para poder quitar el denominador, multiplicamos ambos lados por $x + 4$ . Pero, cuando multiplicamos cualquier elemento por 0, es 0. Por lo tanto, para encontrar el intercepto en $x$ , solo necesitamos establecer el numerador igual a cero y buscar $x$ .

Lo último que hay que hacer es encontrar la asíntota horizontal. Sabemos que la función es positiva, por lo que las ramas estarán en el primer y tercer cuadrante. Hagamos la tabla.

$x$	$y$
$-13$	3
$-7$	5
$-5$	11
$-3$	$-7$
$-1$	$-1$
0	$-0.25$
2	0.5
5	1
14	1.5

Pareciera que la asíntota horizontal es $y = 2$ porque ambas ramas parecen acercarse a 2 mientras que $x$ se hace más grande, la positiva y la negativa. Si reemplazamos con $x = 86, y = 1.9$ y cuando $x = -94, y = 2.1$ . Como puedes ver, incluso cuando $x$ es muy larga, la función se sigue aproximando a 2.

Si vuelves a mirar la ecuación original, $f(x)= \frac{2x-1}{x+4}$ , extrae los coeficientes principales y déjalos en la forma de numerador sobre denominador, $\frac{2}{1}$ . Esta es la asíntota horizontal. Podemos generalizar este patrón para todas las funciones racionales. Cuando el grado del numerador es igual al grado del denominador, la asíntota horizontal es el ratio de los coeficientes principales.

Finalmente, el dominio es el conjunto de los números reales; $x \ne -4$ y el rango es el conjunto de los números reales; $y \ne 2$ .

Ejemplo B

Grafica $y=\frac{3x^2+10}{x^2-1}$ . Encuentra las asíntotas, los interceptos, el dominio y el rango.

Solución: A partir del ejemplo anterior, podemos concluir que la asíntota horizontal está en $y = 3$ . Ya que el denominador es un cuadrado, habrá dos asíntotas verticales porque $x^2-1$ se factoriza en $(x - 1)(x + 1)$ . Por lo tanto, las asíntotas verticales son $x = 1$ y $x = -1$ . En cuanto a los interceptos, no hay interceptos de $x$ porque no hay soluciones reales para $3x^2+10=0$ . Si buscamos el intercepto en $y$ , tenemos $y=\frac{10}{-1}=-10$ .

En este punto, introduce la ecuación en tu calculadora para ver la forma general. Para graficar esta función usando una TI-83 o TI-84, ingresa la función en $Y=$ así: $\frac{\left(3x^\land2+10\right)}{\left(x^\land2-1\right)}$ y presiona GRAPH . Necesitarás expandir la ventana para incluir la porción inferior del gráfico. El gráfico final está a continuación.

El domino sigue siendo el conjunto de números los reales excepto las asíntotas verticales. Para esta función, sería el conjunto de números reales; $x \ne -1,x \ne 1$ .

Encontrar el rango es algo más difícil. Observa el espacio en el rango de la asíntota horizontal y el intercepto en $y$ . Por lo tanto, el rango es $(- \infty, -10] \cup (3,\infty)$ .

La notación anterior es una forma de escribir un rango de números llamada notación de intervalo y se introdujo en la sección Encontrar el dominio y el rango de las funciones . El símbolo $\cup$ significa “union.” Observa que $- \infty$ y $\infty$ no están incluidos en el rango.

En general, las funciones racionales con cuadrados en el denominador se dividen en seis regiones y tiene ramas en tres de ellas, como el ejemplo anterior. Sin embargo, hay casos en donde no hay ceros o asíntotas verticales y estos se ven muy diferentes. Siempre debes graficar la función en una calculadora graficadora luego de que encuentres los valores críticos y haz un boceto tan preciso como sea posible.

Ejemplo C

Grafica $f(x)=\frac{x^2-8x+12}{x^2-x-6}$ . Encuentra los interceptos, las asíntotas, el dominio y el rango.

Solución: Factoriza el numerador y el denominador para encontrar los interceptos y las asíntotas verticales.

$f(x)=\frac{x^2-8x+12}{x^2+x-6}=\frac{\left(x-6\right) \left(x-2\right)}{\left(x+3\right) \left(x-2\right)}$

Observa que el numerador y el denominador tienen un factor de $(x - 2)$ . Cuando pasa esto, se crea un hoyo porque $x = 2$ es un cero y una asíntota. Por lo tanto, $x = 2$ es un hoyo y no es ni un cero ni una asíntota.

Hay una asíntota vertical en $x = -3$ y un cero en $x = 6$ . La asíntota horizontal está en $y = 1$ . El gráfico de $f(x)=\frac{x^2-8x+12}{x^2-x-6}$ será parecido al gráfico de $f(x)=\frac{x-6}{x+3}$ , pero con un hoyo en $x = 2$ . Un hoyo no es parte del dominio. El valor resultante que es correspondiente con el hoyo no es parte del rango. En este ejemplo, $f(2)=\frac{2-6}{2+3}=\frac{-4}{6}=- \frac{2}{3}$ no es parte del rango. Si quisieras graficar esta función en tu calculadora graficadora, la calculadora no mostrará que hay un hoyo.

El dominio es $x \in \mathbb{R};x \ne 2,-3$ y el rango es $y \in \mathbb{R};y \ne 1,- \frac{2}{3}$ .

Revisión del Problema Introductorio La(s) asíntota(s) vertical(es) cuando el denominador de la función es igual a cero. Para la función $y=\frac{2x^4+5}{x^4-16}$ , el denominador es igual a cero cuando $x^4-16 = 0$ .

$x^4-16 = 0 \\\x^4 = 16$

$x = 2$ or $x = -2$

Por lo tanto, hay dos asíntotas verticales y Darnell está en lo correcto.

Práctica Guiada

Grafica las siguientes funciones. Encuentra todos los interceptos, las asíntotas, el dominio y el rango. Vuelve a revisar tus respuestas con una calculadora graficadora.

1. $y=\frac{4x-5}{2x+7}$

2. $f(x)=\frac{x^2-9}{x^2+1}$

3. $y=\frac{2x^2+7x+3}{x^2+3x+2}$

4. $y=\frac{x^2-4}{2x^2-5x+2}$

Respuestas

1. Intercepto en $y$ : $y=\frac{-5}{7}=- \frac{5}{7}$ , intercepto en $x$ : $0=4x-5 \rightarrow x=\frac{5}{4}$ , asíntota horizontal: $y=\frac{4}{2}=2$ , asíntota vertical: $2x+7=0 \rightarrow x=- \frac{7}{2}$ , dominio: $\mathbb{R};x \ne - \frac{7}{2}$ , rango: $\mathbb{R};y \ne 2$

2. Intercepto en $y$ : $y=\frac{-9}{1}=-9$ , intercepto en $x$ : $0=x^2-9 \rightarrow x= \pm 3$ , asíntota horizontal: $y=1$ , asíntota vertical: No hay dominio: $\mathbb{R}$ , rango: $\mathbb{R};y \ne 1$

Nota Especial: Cuando no hay asíntotas verticales y el numerador y denominador son cuadrados, esta es la forma general. También se puede reflejar en la asíntota horizontal.

3. Intercepto en $y$ : $\left(0, \frac{3}{2}\right)$ , intercepto en $x$ : $(-3,0)$ y $\left(- \frac{1}{2},0\right)$ , asíntota horizontal: $y = 2$ , asíntotas verticales: $x = -2, x = -1$ .

dominio: $\mathbb{R};x \ne -1,-2$

rango: $y \in (- \infty,2.1] \cup [12, \infty)$

4. asíntota horizontal: $y=\frac{1}{2}$ , intercepto en $y$ : $(0,-2)$

asíntota vertical: $x=\frac{1}{2}$ , intercepto en $x$ : $(-2,0)$

hoyo: $x = 2, f(2)=\frac{4}{3}$

dominio: $\mathbb{R};x \ne \frac{1}{2},2$

rango: $\mathbb{R};y \ne \frac{1}{2}, \frac{4}{3}$

Vocabulario

Grado: El exponente más alto en un polinomio.

Notación de Intervalo: Una forma de escribir el dominio o rango de una función. [ y ] incluye el o los punto(s) final(es) del intervalo y ( y ) no lo hace. El símbolo $\cup$ se usa para unir dos intervalos de un dominio o rango.

Hoyo: Un valor resultante que es una asíntota vertical y un cero. No se considera parte del dominio. Una nota importante, la calculadora graficadora no mostrará un hoyo en esta imagen.

Práctica

¿Cuáles son las asíntotas verticales y horizontales de $y=\frac{x-2}{x+7}$ ?
¿Cuál es el dominio de esta función?
¿Cuál es el rango de esta función?
¿Hay algún intercepto en x ? Si es así, ¿cuáles son?
¿Hay algún intercepto en y ? Si es así, ¿cuáles son?

Grafica las siguientes funciones racionales. Escribe las ecuaciones de las asíntotas, el dominio y el rango, los interceptos de, $x$ e $y$ e identifica todos los hoyos.

$y=\frac{x+3}{x-5}$
$y=\frac{5x+2}{x-4}$
$y=\frac{3-x}{2x+10}$
$y=\frac{x^2+5x+6}{x^2-8x+12}$
$y=\frac{x^2+4}{2x^2+x-3}$
$y=\frac{2x^2-x-10}{3x^2+10x+8}$
$y=\frac{x^2-4}{x^2+3x-10}$
$y=\frac{6x^2-7x-3}{4x^2-1}$
$y=\frac{x^3-8}{x^3+x^2-4x-4}$
Grafica $y=\frac{1}{x-2}+3$ e $y=\frac{3x-5}{x-2}$ en el mismo conjunto de ejes. Compáralos. ¿De qué te diste cuenta? Explica tus resultados.

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