Graficar Cuando los Grados del Numerador y el Denominador son Diferentes

En esta sección, aprenderás a cómo graficar funciones racionales cuando los grados del numerador y el denominador no son iguales.

Xerxes dice que la función $y=\frac{x-2}{4x^2 + 7}$ , tiene una asíntota horizontal de $y = \frac{1}{4}$ , Yolanda dice que la función no tiene asíntota horizontal y Zeb dice que sí tiene una asíntota horizontal en $y=0$ . ¿Quién está en lo correcto?

Orientación

En esta sección veremos las diferentes posibilidades para los tipos de funciones racionales que quedan. Necesitarás usar la calculadora graficadora a través de esta sección para asegurarte de que tus bocetos sean correctos.

Ejemplo A

Grafica $y=\frac{x+3}{2x^2+11x-6}$ . Encuentra todas las asíntotas, los interceptos, el dominio y el rango.

Solución: En este ejemplo el grado del numerador es menor que el grado del denominador. Siempre que pase esto, la asíntota horizontal será $y = 0$ , o el eje de $x$ . Ahora, incluso si el eje de $x$ es la asíntota horizontal, aún habrá un cero en $x = -3$ (resuelve el numerador para encontrar $x$ e iguálalo a cero). Las asíntotas verticales serán las soluciones de $2x^2+11x-6=0$ . Si factorizamos estas cuadráticas, tenemos $(2x-1)(x+6)=0$ y las soluciones son $x=\frac{1}{2}$ y $-6$ . El intercepto en $y$ es $\left(0,- \frac{1}{2}\right)$ . En este punto, podemos poner nuestra función en la calculadora graficadora para obtener la forma general.

Ya que la porción del medio cruza la asíntota horizontal, el rango será el conjunto de los números reales. El dominio es $x \in \mathbb{R};x=-6;x \ne \frac{1}{2}$ .

Ten cuidado al graficar cualquier función racional. Esta función no se ve como el gráfico a la izquierda en una TI-83/84. Esto se debe a que la calculadora no tiene la habilidad de dibujar las asíntotas por separado y tiende a hacer la función continua. Asegúrate de volver a revisar la tabla ( $2^{\text{nd}} \rightarrow$ GRAPH) para encontrar en dónde la función es indefinida.

Ejemplo B

Grafica $f(x)=\frac{x^2+7x-30}{x+5}$ . Encuentra todas las asíntotas, los interceptos, el dominio y el rango.

Solución: En este ejemplo el grado del numerador es mayor que el grado del denominador . Cuando pasa esto, no hay una asíntota horizontal. En cambio, hay una asíntota oblicua . Recuerda que esta función representa una división. Si quisiéramos dividir $x^2+7x-30$ por $x+5$ , la respuesta sería $x+2-\frac{20}{x+5}$ . La asíntota oblicua sería la respuesta, menos el residuo. Por lo tanto, para este problema, la asíntota oblicua es $y=x+2$ . Todo lo demás es igual. El intercepto en $y$ es $\frac{-30}{5} \rightarrow (0,-6)$ y los interceptos de $x$ son las soluciones del numerador, $x^2+7x-30=0 \rightarrow (x+10)(x-3) \rightarrow x=-10,3$ . Hay una asíntota vertical en $x = -5$ . En este punto, puedes probar unos cuantos puntos para ver en dónde están las ramas o usa la calculadora graficadora.

El dominio es el conjunto de todos los números reales; $x \ne -5$ . Debido a la asíntota oblicua, no hay restricciones en el rango. Todos son parte del conjunto de números reales.

Ejemplo C

Grafica $y=\frac{x-6}{3x^2-16x-12}$ . Encuentra las asíntotas y los interceptos.

Solución: Debido a que el grado del numerador es menor que el grado del denominador, habrá una asíntota horizontal por todo el eje de $x$ . Luego, encontremos las asíntotas verticales factorizando el denominador; $(x-6)(3x+2)$ . Observa que el denominador tiene un factor de $(x-6)$ , el que es el numerador completo. Esto significa que habrá un hoyo en $x=6$ .

Por lo tanto, el gráfico de $y=\frac{x-6}{3x^2-16x-12}$ será el mismo que el de $y=\frac{1}{3x+2}$ , excepto que tendrá un hoyo en $x = 6$ . No hay intercepto en $x$ , la asíntota vertical está en $x=- \frac{2}{3}$ y el intercepto en $y$ es $\left(0,\frac{1}{2}\right)$ .

Revisión del Problema Introductorio El grado del numerador $x-2$ es menor que el grado del denominador $4x^2 + 7$ . Sabemos que siempre que pase esto, la asíntota horizontal será $y = 0$ , o el eje de $x$ .

Por lo tanto, Zeb está en lo correcto.

Resumen

Para una función racional; $f(x)=\frac{p\left(x\right)}{q\left(x\right)}=\frac{a_mx^m+ \ldots +a_0}{b_nx^n+ \ldots +b_0}$

Si $m<n$ , entonces hay una asíntota horizontal en $y = 0$ .
Si $m=n$ , entonces hay una asíntota horizontal en $y=\frac{a_m}{b_n}$ (el ratio de los coeficientes principales).
Si $m>n$ , entonces hay una asíntota oblicua en $y=(a_mx^m+\ldots+a_0) \div (b_nx^n+\ldots+b_0)$ sin el residuo. En esta sección, solo tendremos funciones en donde $m$ es más grande que $n$ .

Práctica Guiada

Grafica las siguientes funciones. Encuentra todos los interceptos y las asíntotas.

1. $y=\frac{3x+5}{2x^2+9x+20}$

2. $f(x)=\frac{x^2+4x+4}{x^2-3x-4}$

3. $g(x)=\frac{x^2-16}{x+3}$

4. $y=\frac{2x+3}{6x^2-x-15}$

Respuestas

1. Intercepto en $x$ : $\left(- \frac{5}{3},0\right)$ , intercepto en $y$ : $\left(0,\frac{1}{4}\right)$

asíntota horizontal: $y=0$

asíntota vertical: ninguna

2. Intercepto en $x$ : $(-2,0)$ , intercepto en $y$ : $(0,-1)$

asíntota horizontal: $y=1$

asíntota vertical: $x=4$ y $x=-1$

3. interceptos de $x$ : $(-4,0)$ y $(4,0)$ ,

intercepto en $y$ : $\left(0,- \frac{16}{3}\right)$

asíntota oblicua: $y=x-3$

asíntotas verticales: $x=-3$

4. interceptos de $x$ : ninguna, hoyo en $x = - \frac{3}{2}$ ,

intercepto en $y$ : $\left(0,- \frac{1}{5}\right)$

asíntota horizontal: $y=0$

asíntota vertical: $x=\frac{5}{3}$

Vocabulario

Asíntota Oblicua: En una función racional, cuando el grado del numerador es mayor que el grado del denominador, se produce una asíntota oblicua en vez de una horizontal. Es el resultado de una división larga de funciones, sin el residuo.

Práctica

Encuentra todas las soluciones de las siguientes funciones.

$y=\frac{x-2}{x^2+6x+8}$
$y=\frac{x^2-4}{x+5}$
$y=\frac{x^2}{x-3}$
Encuentra los interceptos de x de la función en el ejercicio #2.
Encuentra los interceptos de x de la función en el ejercicio #3.

Grafica las siguientes funciones. Encuentra todos los interceptos, las asíntotas y los hoyos.

$y=\frac{x+1}{x^2-x-12}$
$f(x)=\frac{x^2+3x-10}{x-3}$
$y=\frac{x-7}{2x^2-11x-21}$
$g(x)=\frac{2x^2-2}{3x+5}$
$y=\frac{x^2+x-30}{x+6}$
$f(x)=\frac{x^2+x-30}{2x^3-5x^2-4x+3}$
$y=\frac{x^3-2x^2-3x}{x^2-5x+6}$
$f(x)=\frac{2x+5}{x^2+5x-6}$
$g(x)=\frac{-x^2+3x+4}{2x-6}$
Determina la asíntota oblicua de $y=\frac{3x^2-x-10}{3x+5}$ . Ahora, grafica esta función. ¿Realmente hay una asíntota oblicua? ¿Puedes explicar tus resultados?

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