Simplificación de Expresiones Racionales

En esta sección, aprenderás a cómo simplificar expresiones racionales que incluyen polinomios factorizables.

El área de un rectángulo es $2x^4 - 2$ . El ancho de un rectángulo es $x^2 + 1$ . ¿Cuál es el largo del rectángulo?

Orientación

Recuerda que una función racional es una función, $f(x)$ , esto es $f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}$ , donde $p(x)$ y $q(x)$ son polinomios. Una expresión racional es, simplemente $\frac{p(x)}{q(x)}$ . Como cualquier fracción, una expresión racional puede simplificarse. Para simplificar una expresión racional, necesitarás factorizar los polinomios, determinar si algún factor es igual a otro y luego, cancelar todos los factores similares.

Fracción: $\frac{9}{15} = \frac{\cancel{3} \cdot 3}{\cancel{3} \cdot 5} = \frac{3}{5}$

Expresión Racional: $\frac{x^2+6x+9}{x^2+8x+15} = \frac{\cancel{(x+3)}(x+3)}{\cancel{(x+3)}(x+5)} = \frac{x+3}{x+5}$

En ambas fracciones separamos el numerador y el denominador en una factorización de primos. Luego, cancelamos los factores comunes.

Nota Importante: $\frac{x+3}{x+5}$ está factorizado completamente. No canceles las $x$ . $\frac{3x}{5x}$ se reduce a $\frac{3}{5}$ , pero $\frac{x+3}{x+5}$ no lo hace debido al signo de suma. Para probar esto, reemplazaremos un número por $x$ para demostrar que la fracción no se reduce a $\frac{3}{5}$ . Si $x=2$ , entonces $\frac{2+3}{2+5} = \frac{5}{7} \ne \frac{3}{5}$ .

Ejemplo A

Simplifica $\frac{2x^3}{4x^2-6x}$ .

Solución: Los factores del numerador son $2x^3=2 \cdot x \cdot x \cdot x$ y el denominador es $4x^2-6x=2x(2x-3)$ .

$\frac{2x^3}{4x^2-6x} = \frac{\cancel{2} \cdot \cancel{x} \cdot x \cdot x}{\cancel{2} \cdot \cancel{x} \cdot(2x-3)} = \frac{x^2}{2x-3}$

Ejemplo B

Simplifica $\frac{6x^2-7x-3}{2x^3-3x^2}$ .

Solución: Si necesitas revisar la factorización, ve a la sección Factorización de Cuadráticos Cuando el Coeficiente Principal es 1 y a la sección Factorización de Cuadráticos Cuando el Coeficiente Principal no es 1. Si no, factoriza el numerador y encuentra el MCD del denominador y cancela los términos similares.

$\frac{6x^2-7x-3}{2x^3-3x^2} = \frac{\cancel{(2x-3)}(3x+1)}{x^2\cancel{(2x-3)}} = \frac{3x+1}{x^2}$

Ejemplo C

Simplifica $\frac{x^2-6x+27}{2x^2-19x+9}$ .

Solución: Factoriza la parte superior y la inferior y ve si hay algún factor común.

$\frac{x^2-6x+27}{2x^2-19x+9} = \frac{\cancel{(x-9)}(x+3)}{\cancel{(x-9)}(2x-1)} = \frac{x+3}{2x-1}$

Nota Especial: No todos los polinomios de una función racional serán factorizables. Algunas veces no hay factores comunes. Cuando esto sucede, escribe “no factorizable.”

Revisión del Problema Introductorio

Recuerda que el área de un rectángulo es el largo multiplicado por el ancho. Por lo tanto, para encontrar el largo, podemos dividir el área por el ancho. Así que estamos buscando $\frac{2x^4 - 2}{x^2 + 1}$ .

Si factorizamos el numerador y el denominador, tenemos:

$\frac{2x^4 - 2}{x^2 + 1}\\\\frac{2(x^4 - 1)}{x^2 + 2}\\\\frac{2(x^2 + 1)(x^2 - 1)}{x^2 + 1}\\\2(x^2 - 1) = 2x^2 - 2$

Por lo tanto, el largo del rectángulo es $2(x^2 - 1) = 2x^2 - 2$ .

Práctica Guiada

Si es posible, simplifica las siguientes funciones racionales.

1. $\frac{3x^2-x}{3x^2}$

2. $\frac{x^2+6x+8}{x^2+6x+9}$

3. $\frac{2x^2+x-10}{6x^2+17x+5}$

4. $\frac{x^3-4x}{x^5+4x^3-32x}$

Respuestas

1. $\frac{3x^2-x}{3x^2} = \frac{\cancel{x}(3x-1)}{3 \cdot \cancel{x} \cdot x} = \frac{3x-1}{3x}$

2. $\frac{x^2+6x+8}{x^2+6x+9} = \frac{(x+4)(x+2)}{(x+3)(x+3)}$ No hay factores comunes, así que este se reduce.

3. $\frac{2x^2+x-10}{6x^2+17x+5} = \frac{\cancel{(2x+5)}(x-2)}{\cancel{(2x+5)}(3x+1)} = \frac{x-2}{3x+1}$

4. En este problema, el denominador se factorizará igual que una cuadrática una vez que se saque una $x$ de cada uno de los términos.

$\frac{x^3-4x}{x^5+4x^3-32x} = \frac{x(x^2-4)}{x(x^4+4x^2-32)} = \frac{x(x-2)(x+2)}{x(x^2-4)(x^2+8)} = \frac{\cancel{x (x-2)(x+2)}}{\cancel{x (x-2)(x+2)}(x^2+8)} = \frac{1}{x^2+8}$

Vocabulario

Expresiones Racionales: Una fracción con polinomios en el numerador y el denominador.

Práctica

¿ $\frac{x-2}{x-6}$ se simplifica a $\frac{1}{3}$ ? Explica por qué o por qué no.
¿ $\frac{5x}{10x}$ se simplifica a $\frac{1}{2}$ ? Explica por qué o por qué no.
Explica, en tus propias palabras, la diferencia entre las dos expresiones anteriores y por qué una se simplifica y la otra no.

Simplifica las siguientes funciones racionales.

$\frac{4x^3}{2x^2+3x}$
$\frac{x^3+x^2-2x}{x^4+4x^3-5x^2}$
$\frac{2x^2-5x-3}{2x^2-7x-4}$
$\frac{5x^2+37x+14}{5x^3-33x^2-14x}$
$\frac{8x^2-60x-32}{-4x^2+26x+48}$
$\frac{6x^3-24x^2+30x-120}{9x^4+36x^2-45}$
$\frac{6x^2+5x-4}{6x^2-x-1}$
$\frac{x^4+8x}{x^4-2x^3+4x^2}$
$\frac{6x^4-3x^3-63x^2}{12x^2-84x}$
$\frac{x^5-3x^3-4x}{x^4+2x^3+x^2+2x}$
$\frac{-3x^2+25x-8}{x^3-8x^2+x-8}$
$\frac{-x^3+3x^2+13x-15}{-2x^3+7x^2+20x-25}$

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