Multiplicación de Expresiones Racionales

En esta sección, aprenderás a cómo multiplicar dos o más expresiones racionales o simplificarlas.

El largo de un rectángulo es $\frac{2xy^3z}{5xyz^2}$ . El ancho de un rectángulo es $\frac{3x^2yz^3}{4x^3y^2z^2}$ . ¿Cuál es el área del rectángulo?

Orientación

Tomamos la sección anterior y vamos un paso más allá. Multiplicaremos dos expresiones racionales. Cuando multiplicas expresiones racionales, es igual que multiplicar fracciones. Sin embargo, es mucho más fácil factorizar las expresiones racionales antes de multiplicarlas porque los factores podrían cancelarse.

Ejemplo A

Multiplica $\frac{x^2-4x}{x^3-9x} \cdot \frac{x^2+8x+15}{x^2-2x-8}$

Solución: En vez de multiplicar cada numerador y denominador para obtener polinomios muy complicados, es mucho más fácil factorizar primero y luego cancelar todos los factores comunes.

$\frac{x^2-4x}{x^3-9x} \cdot \frac{x^2+8x+15}{x^2-2x-8} = \frac{x(x-4)}{x(x-3)(x+3)} \cdot \frac{(x+3)(x+5)}{(x+2)(x-4)}$

En este punto, vemos que hay factores comunes entre las fracciones.

$\frac{\cancel{x} \cancel{(x-4)}}{\cancel{x}(x-3) \cancel{(x+3)}} \cdot \frac{\cancel{(x+3)}(x+5)}{(x+2)\cancel{(x-4)}} = \frac{x+5}{(x-3)(x+2)}$

En este punto, la respuesta está en su forma factorizada y simplificada. No necesitas multiplicar la base.

Ejemplo B

Multiplica $\frac{4x^2y^5z}{6xyz^6} \cdot \frac{15y^4}{35x^4}$

Solución: Estas expresiones racionales son monomios con más de una variable. Aquí, necesitamos recordar las leyes de los exponentes de las secciones anteriores. Recuerda sumar los exponentes cuando multipliques y restar los exponentes cuando dividas. La forma más fácil de resolver este tipo de problemas es multiplicar las dos fracciones primero y luego sacar los exponentes comunes.

$\frac{4x^2y^5z}{6xyz^6} \cdot \frac{15y^4}{35x^4} = \frac{60x^2y^9z}{210x^5yz^6} = \frac{2y^8}{7x^3z^5}$

Puedes invertir el orden y cancelar los exponentes comunes primero y luego multiplicar, pero a veces puede ser confuso.

Ejemplo C

Multiplica $\frac{4x^2+4x+1}{2x^2-9x-5} \cdot (3x-2) \cdot \frac{x^2-25}{6x^2-x-2}$

Solución: Ya que el término del medio es una expresión linear, reescríbelo sobre 1 para convertirlo en una fracción.

$\frac{4x^2+4x+1}{2x^2-9x-5} \cdot (3x-2) \cdot \frac{x^2-25}{6x^2-x-2} = \frac{\cancel{(2x+1)} \cancel{(2x+1)}}{\cancel{(2x+1)} \cancel{(x-5)}} \cdot \frac{\cancel{3x-2}}{1} \cdot \frac{\cancel{(x-5)}(x+5)}{\cancel{(3x-2)} \cancel{(2x+1)}} = x+5$

Revisión del Problema Introductorio El área del rectángulo es el largo multiplicado por el ancho. Para encontrar el área, multiplica los dos términos y simplifica.

$\frac{2xy^3z}{5xyz^2} \cdot \frac{3x^2yz^3}{4x^3y^2z^2}\\\\frac{6x^3y^4z^4}{20x^4y^3z^4}\\\\frac{3y}{10x}$

Por lo tanto, el área del rectángulo es $\frac{3y}{10x}$ .

Práctica Guiada

Multiplica las siguientes expresiones.

1. $\frac{4x^2-8x}{10x^3} \cdot \frac{15x^2-5x}{x-2}$

2. $\frac{x^2+6x-7}{x^2-36} \cdot \frac{x^2-2x-24}{2x^2+8x-42}$

3. $\frac{4x^2y^7}{32x^4y^3} \cdot \frac{16x^2}{8y^6}$

Respuestas

1. $\frac{4x^2-8x}{10x^3} \cdot \frac{15x^2-5x}{x-2} = \frac{\cancel{2} \cdot 2 \cancel{x}\cancel{(x-2)}}{\cancel{2} \cdot \cancel{5x} \cdot \cancel{x} \cdot x} \cdot \frac{\cancel{5x}(3x-1)}{\cancel{x-2}} = \frac{2(3x-1)}{x}$

2. $\frac{x^2+6x-7}{x^2-36} \cdot \frac{x^2-2x-24}{2x^2+8x-42} = \frac{\cancel{(x+7)}(x-1)}{\cancel{(x-6)}(x+6)} \cdot \frac{\cancel{(x-6)}(x+4)}{2 \cancel{(x+7)}(x-3)} = \frac{(x-1)(x+4)}{2(x-3)(x+6)}$

3. $\frac{4x^2y^7}{32x^4y^3} \cdot \frac{16x^2}{8y^6} = \frac{64x^4y^7}{256x^4y^9} = \frac{1}{4y^2}$

Práctica

Determina si los siguientes enunciados son verdaderos o falsos. Si es falso, explica por qué.

Cuando multiplicas dos variables con la misma base, multiplicas los exponentes.
Cuando divides dos variables con la misma base, restas los exponentes.
Cuando una potencia se eleva a una potencia, multiplicas los exponentes.
$(x+2)^2 = x^2 + 4$

Multiplica las siguientes expresiones. Simplifica tus respuestas.

$\frac{8x^2y^3}{5x^3y} \cdot \frac{15xy^8}{2x^3y^5}$
$\frac{11x^3y^9}{2x^4} \cdot \frac{6x^7y^2}{33xy^3}$
$\frac{18x^3y^6}{13x^8y^2} \cdot \frac{39x^{12}y^5}{9x^2y^9}$
$\frac{3x+3}{y-3} \cdot \frac{y^2-y-6}{2x+2}$
$\frac{6}{2x+3} \cdot \frac{4x^2+4x-3}{3x+3}$
$\frac{6+x}{2x-1} \cdot \frac{x^2+5x-3}{x^2+5x-6}$
$\frac{3x-21}{x-3} \cdot \frac{-x^2+x+6}{x^2-5x-14}$
$\frac{6x^2+5x+1}{8x^2-2x-3} \cdot \frac{4x^2+28x-30}{6x^2-7x-3}$
$\frac{x^2+9x-36}{x^2-9} \cdot \frac{x^2+8x+15}{-x^2+11x+12}$
$\frac{2x^2+x-21}{x^2+2x-48} \cdot (4-x) \cdot \frac{2x^2-9x-18}{2x^2-x-28}$
$\frac{8x^2-10x-3}{4x^3+x^2-36x-9} \cdot \frac{5x+3}{x-1} \cdot \frac{x^3+3x^2-x-3}{5x^2+8x+3}$

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