División de Expresiones Racionales

En esta sección, aprenderás a dividir dos o más expresiones racionales.

El área de un rectángulo es $\frac{12x^2yz^3}{5xy^2z}$ . El largo del rectángulo es $\frac{2xy}{z^2}$ . ¿Cuál es el ancho del rectángulo?

Orientación

La división de expresiones racionales tiene un paso más que la multiplicación. Recuerda que cuando divides fracciones, necesitas invertir la segunda fracción y cambiar el problema a una multiplicación. La misma regla se aplica para dividir expresiones racionales.

Ejemplo A

Divide $\frac{5a^3b^4}{12ab^8} \div \frac{15b^6}{8a^6}$ .

Solución: Invierte la segunda fracción, cambia el signo $\div$ a uno de multiplicación y resuelve.

$\frac{5a^3b^4}{12ab^8} \div \frac{15b^6}{8a^6} = \frac{5a^3b^4}{12ab^8} \cdot \frac{8a^6}{15b^6} = \frac{40a^9b^4}{180ab^{14}} = \frac{2a^8}{9b^{10}}$

Ejemplo B

Divide $\frac{x^4-3x^2-4}{2x^2+x-10} \div \frac{x^3-3x^2+x-3}{x-2}$

Solución: Invierte la segunda fracción, cambia el signo $\div$ a uno de multiplicación y resuelve.

$\frac{x^4-3x^2-4}{2x^2+x-10} \div \frac{x^3-3x^2+x-3}{x-2} &= \frac{{\color{red}x^4-3x^2-4}}{2x^2+x-10} \cdot \frac{x-2}{{\color{blue}x^3-3x^2+x-3}} \\\&= \frac{(x^2-4)(x^2+1)}{(2x-5)(x+2)} \cdot \frac{x-2}{(x^2+1)(x-3)} \\\&= \frac{(x-2)\cancel{(x+2)} \cancel{(x^2+1)}}{(2x-5)\cancel{(x+2)}} \cdot \frac{x-2}{\cancel{(x^2+1)}(x-3)} \\\&= \frac{(x-2)^2}{(2x-5)(x-3)}$

Revisa la sección Factorización por Agrupación para factorizar el polinomio azul y la sección Factorización en Cuadráticos para factorizar el polinomio rojo.

Ejemplo C

Realiza las operaciones indicadas: $\frac{{\color{blue}x^3-8}}{x^2-6x+9} \div (x^2+3x-10) \cdot \frac{x^2+x-12}{x^2+11x+30}$

Solución: Invierte el segundo término, factoriza y cancela. El polinomio azul es una diferencia de cubos. Revisa la sección Suma y Resta de Cubos para ver cómo factorizar este polinomio.

$\frac{x^3-8}{x^2-6x+9} \div (x^2+3x-10) \cdot \frac{x^2+x-12}{x^2+11x+30} &= \frac{x^3-8}{x^2-6x+9} \cdot \frac{1}{x^2+3x-10} \cdot \frac{x^2+2x-15}{x^2+11x+30} \\\&= \frac{\cancel{(x-2)}(x^2+2x+4)}{\cancel{(x-3)}(x-3)} \cdot \frac{1}{\cancel{(x-2)} \cancel{(x+5)}} \cdot \frac{\cancel{(x+5)} \cancel{(x-3)}}{(x+5)(x+6)} \\\&= \frac{x^2+2x+4}{(x-3)(x+5)(x+6)}$

Revisión del Problema Introductorio Para encontrar el ancho, divide el área por el largo y simplifica.

$\frac{12x^2yz^3}{5xy^2z} \div \frac{2xy}{z^2}\\\\frac{12x^2yz^3}{5xy^2z} \cdot \frac{z^2}{2xy}\\\\frac{12x^2yz^5}{10x^2y^3z}\\\\frac{6z^4}{5y^2}$

Por lo tanto, el ancho del rectángulo es $\frac{6z^4}{5y^2}$ .

Práctica Guiada

Realiza las operaciones indicadas.

1. $\frac{a^5b^3c}{6a^2c^9} \div \frac{2a^7b^{11}}{24c^2}$

2. $\frac{x^2+12x-45}{x^2-5x+6} \div \frac{x^2+17x+30}{x^4-16}$

3. $(x^3+2x^2-9x-18) \div \frac{x^2+11x+24}{x^2-11x-24} \div \frac{x^2-6x-16}{x^2+5x-24}$

Respuestas

1. $\frac{a^5b^3c}{6a^2c^9} \div \frac{2a^7b^{11}}{24c^2} = \frac{a^5b^3c}{6a^2c^9} \cdot \frac{24c^2}{2a^7b^{11}} = \frac{24a^5b^3c^3}{12a^9b^{11}c^9} = \frac{2}{a^4b^8c^6}$

2. $\frac{x^2+12x-45}{x^2-5x+6} \div \frac{x^2+17x+30}{x^4-16} &= \frac{x^2+12x-45}{x^2-5x+6} \cdot \frac{x^4-16}{x^2+17x+30} \\\&= \frac{\cancel{(x+15)}\cancel{(x-3)}}{\cancel{(x-3)} \cancel{(x-2)}} \cdot \frac{(x^2+4)\cancel{(x-2)} \cancel{(x+2)}}{\cancel{(x+15)} \cancel{(x+2)}} \\\&= x^2+4$

3. $(x^3+2x^2-9x-18) \div \frac{x^2+11x+24}{x^2-11x+24} \div \frac{x^2-6x-16}{x^2+5x-24} &= \frac{x^3+2x^2-9x-18}{1} \cdot \frac{x^2-11x+24}{x^2+11x+24} \cdot \frac{x^2+5x-24}{x^2-6x-16} \\\&= \frac{(x-3) \cancel{(x+3)} \cancel{(x+2)}}{1} \cdot \frac{\cancel{(x-8)}(x-3)}{\cancel{(x+8)}\cancel{(x+3)}} \cdot \frac{\cancel{(x+8)}(x-3)}{\cancel{(x-8)} \cancel{(x+2)}} \\\&=(x-3)^2$

Práctica

Divide las siguientes expresiones. Simplifica tu respuesta.

$\frac{6a^4b^3}{8a^3b^6} \div \frac{3a^5}{4a^3b^4}$
$\frac{12x^5y}{xy^4} \div \frac{18x^3y^6}{3x^2y^3}$
$\frac{16x^3y^9z^3}{15x^5y^2z} \div \frac{42xy^7z^2}{45x^2yz^5}$
$\frac{x^2+2x-3}{x^2-3x+2} \div \frac{x^2+3x}{4x-8}$
$\frac{x^2-2x-3}{x^2+6x+5} \div \frac{4x-12}{x^2+8x+15}$
$\frac{x^2+6x+2}{12-3x} \div \frac{6x^2-13x-5}{x^2-4x}$
$\frac{x^2-5x}{x^2+x-6} \div \frac{x^2-2x-15}{x^3+3x^2-4x-12}$
$\frac{3x^3-3x^2-6x}{2x^2+15x-8} \div \frac{6x^2+18x-60}{2x^2+9x-5}$
$\frac{x^3+27}{x^2+5x-14} \div \frac{x^2-x-12}{2x^2+2x-40} \div \frac{1}{x-2}$
$\frac{x^2+2x-15}{2x^3+7x^2-4x} \div (5x+3) \div \frac{21-10x+x^2}{5x^3+23x^2+12x}$

Todos sabemos que cuando divides fracciones, tomas la segunda fracción, la inviertes y cambias el problema a una multiplicación. Pero, ¿Sabes por qué? Investiguemos el porqué aquí.

¿Cuál es el resultado de $6 \div 2$ ?
¿Y de $\frac{1 \div 1}{6 \div 2}$ ?
¿El problema anterior es el mismo que $\frac{1}{6} \div \frac{1}{2}$ ? ¿Por qué o por qué no?

Mirémoslo de un punto de vista diferente. Escribamos un problema de división como una fracción grande: $\frac{\frac{30}{52}}{\frac{15}{13}}$

Sabemos que no podemos tener fracciones en el denominador de otra fracción. ¿Por qué término deberíamos multiplicar el denominador para cancelarlo?
Multiplica la parte de arriba y la de abajo de tu respuesta del ejercicio 14. ¿Por qué término multiplicaste?

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