Suma y Resta de Expresiones Racionales con Denominadores Similares

En esta sección, sumarás y restarás expresiones racionales con denominadores similares.

En un triángulo ABC, el lado AB tiene $\frac{x^2+5}{x^2 + 3x + 2}$ unidades de largo. El lado AC tiene $\frac{3x^2 - 3x}{x^2 + 3x + 2}$ unidades de largo. ¿Cuánto más largo es el lado AC que el lado AB?

Orientación

Recuerda, cuando sumas o restas fracciones, los denominadores deben ser iguales. Lo mismo ocurre con la suma y la resta de expresiones racionales. Los denominadores deben ser las mismas expresiones y luego puedes sumar o restar los numeradores.

Ejemplo A

Suma $\frac{x}{x-6} + \frac{7}{x-6}$ .

Solución: En esta sección, los denominadores siempre serán iguales. Por lo tanto, todo lo que necesitarás hacer es sumar los numeradores y simplificar si es necesario.

$\frac{x}{x-6} + \frac{7}{x-6} = \frac{x+7}{x-6}$

Ejemplo B

Resta $\frac{x^2-4}{x-3} - \frac{2x-1}{x-3}$ .

Solución: Necesitas ser un poco más cuidadoso con la resta. Se restará la expresión completa en el segundo numerador. Considera que el signo menos distribuye un -1 a ese numerador.

$\frac{x^2-4}{x-3} - \frac{2x-1}{x-3} &= \frac{x^2-4-(2x+1)}{x-3} \\\&= \frac{x^2-4-2x-1}{x-3} \\\&= \frac{x^2-2x-3}{x-3}$

En este punto, factoriza el numerador si es posible.

$\frac{x^2-2x-3}{x-3} = \frac{\cancel{(x-3)}(x+1)}{\cancel{x-3}} = x+1$

Ejemplo C

Suma $\frac{x+7}{2x^2+14x+20} + \frac{x+1}{2x^2+14x+20}$ .

Solución: Suma los numeradores y simplifica el denominador.

$\frac{x+7}{2x^2+14x+20} + \frac{x+1}{2x^2+14x+20} &= \frac{2x+8}{2x^2+14x+20} \\\&= \frac{\cancel{2}(x+4)}{\cancel{2}(x+5)(x+2)} \\\&= \frac{(x+4)}{(x+5)(x+2)}$

Revisión del Problema Introductorio Necesitamos restar el largo del lado AB del largo del lado AC.

$\frac{3x^2 - 3x}{x^2 + 3x + 2} - \frac{x^2+5}{x^2 + 3x + 2}\\\\frac{3x^2 - 3x - (x^2+5)}{x^2 + 3x + 2}\\\\frac{3x^2 - 3x - x^2 - 5}{x^2 + 3x + 2}\\\\frac{2x^2 - 3x - 5}{x^2 + 3x + 2}$

Ahora, necesitamos factorizar el numerador y el denominador.

$\frac{2x^2 - 3x - 5}{x^2 + 3x + 2} = \frac{(2x-5)(x+1)}{(x+2)(x+1)}$

El $(x + 1)$ en el numerador y en el denominador se cancela y nos queda $\frac{2x-5}{x+2}$ . Por lo tanto, el lado AC es $\frac{2x-5}{x+2}$ unidades más largo que el lado AB.

Práctica Guiada

Suma o resta las siguientes expresiones racionales.

1. $\frac{3}{x^2-9} - \frac{x+7}{x^2-9}$

2. $\frac{5x-6}{2x+3} + \frac{x-12}{2x+3}$

3. $\frac{x^2+2}{4x^2-4x-3} - \frac{x^2-2x+1}{4x^2-4x-3}$

Respuestas

1. $\frac{3}{x^2-9} - \frac{x+7}{x^2-9} = \frac{3-(x+7)}{x^2-9} = \frac{3-x-7}{x^2-9} = \frac{-x-4}{x^2-9}$

No nos molestamos en factorizar el denominador porque sabemos que los factores de -9 son 3 y -3 y que no se cancelarán con $-x-4$ .

2. $\frac{5x-6}{2x+3} + \frac{x-12}{2x+3} = \frac{6x-18}{2x+3} = \frac{6(x-3)}{2x+3}$

3. $\frac{x^2+2}{4x^2-4x-3} - \frac{x^2-2x+1}{4x^2-4x-3} &= \frac{x^2+2-(x^2-2x+1)}{4x^2-4x-3} \\\&= \frac{x^2+2-x^2+2x-1}{4x^2-4x-3} \\\&= \frac{2x+1}{4x^2-4x-3}$

En este punto, factorizaremos el denominador para ver si algún factor se cancela con el numerador.

$\frac{2x+1}{4x^2-4x-3} = \frac{\cancel{2x+1}}{\cancel{(2x+1)}(2x-3)} = \frac{1}{2x-3}$

Práctica

Explica cómo sumas fracciones. Asume que tu audiencia no sabe nada sobre matemáticas.
Explica por qué $\frac{2}{3} + \frac{4}{5} \neq \frac{3}{4}$ .