Suma y Resta de Expresiones Racionales en Donde un Denominador es el MCD

En esta sección, sumarás y restarás expresiones racionales en donde un denominador es el Mínimo Común Denominador (MCD).

El largo de un terreno de jardín es $\frac{6x^2-5}{2x^2 + 4x - 6}$ . El ancho del terreno es $\frac{2x-7}{x+3}$ . ¿Cuánto más largo es el terreno de jardín de lo que es ancho?

Orientación

Recuerda, cuando dos fracciones no tienen el mismo denominador, tienes que multiplicar una o ambas fracciones por un número para crear fracciones equivalentes y, así, poder combinarlas.

$\frac{1}{2} + \frac{3}{4}$

Aquí, 2 cabe en 4 dos veces. Así que multiplicaremos la primera fracción por ${\color{red}\frac{2}{2}}$ para obtener un denominador de 4. Luego, las dos fracciones se pueden sumar.

${\color{red}\frac{2}{2} \cdot} \frac{1}{2} + \frac{3}{4} = \frac{2}{4} + \frac{3}{4} = \frac{5}{4}$

Una vez que los denominadores son iguales, las fracciones se pueden combinar. Aplicaremos esta idea a expresiones racionales para sumar o restar expresiones sin denominadores similares.

Ejemplo A

Resta $\frac{3x-5}{2x+8} - \frac{x^2-6}{x+4}$ .

Solución: Si factorizas el denominador de la primera fracción, tenemos $2(x+4)$ . La segunda fracción necesita multiplicarse por ${\color{red}\frac{2}{2}}$ para que los denominadores sean iguales.

$\frac{3x-5}{2x+8} - \frac{x^2-6}{x+4} &= \frac{3x-5}{2(x+4)} - \frac{x^2-6}{x+4} \cdot {\color{red}\frac{2}{2}} \\\&= \frac{3x-5}{2(x+4)} - \frac{2x^2-12}{2(x+4)}$

Ahora que los denominadores son iguales, resta la segunda expresión racional tal como hicimos en la sección anterior.

$&= \frac{3x-5-(2x^2-12)}{2(x+4)} \\\&= \frac{3x-5-2x^2+12}{2(x+4)} \\\&= \frac{-2x^2+3x+7}{2(x+4)}$

El numerador no es factorizable, por lo que no tenemos nada más que hacer.

Ejemplo B

Suma $\frac{2x-3}{x+5} + \frac{x^2+1}{x^2-2x-35}$

Solución: Si factorizamos el segundo denominador, tenemos $x^2-2x-35=(x+5)(x-7)$ . Así que necesitamos multiplicar la primera fracción por ${\color{red}\frac{x-7}{x-7}}$ .

$\overbrace{{\color{red}\frac{(x-7)}{(x-7)}} \cdot \frac{(2x-3)}{(x+5)}}^{FOIL} + \frac{x^2+1}{(x-7)(x+5)} &= \frac{2x^2-17x+21}{(x-7)(x+5)} + \frac{x^2+1}{(x-7)(x+5)} \\\&= \frac{3x^2-17x+22}{(x-7)(x+5)}$

Ejemplo C

Resta $\frac{7x+2}{2x^2+18x+40} - \frac{6}{x+5}$ .

Solución: Si factorizamos el primer denominador, tenemos $2x^2+18x+40=2(x^2+9x+20)=2(x+4)(x+5)$ . Este es el Mínimo Común Denominador o MCD. La segunda fracción necesita el 2 y el $(x+4)$ .

$\frac{7x+2}{2x^2+18x+40} - \frac{6-x}{x+5} &= \frac{7x+2}{2(x+5)(x+4)} - \frac{6-x}{x+5}{\color{red}\cdot \frac{2(x+4)}{2(x+4)}} \\\&= \frac{7x+2}{2(x+5)(x+4)} - \frac{2(6-x)(x+4)}{2(x+5)(x+4)} \\\&= \frac{7x+2}{2(x+5)(x+4)} - \frac{48+4x-2x^2}{2(x+5)(x+4)} \\\&= \frac{7x+2-(48+4x-2x^2)}{2(x+5)(x+4)} \\\&= \frac{7x+2-48-4x+2x^2}{2(x+5)(x+4)} \\\&= \frac{2x^2+3x-46}{2(x+5)(x+4)}$

Revisión del Problema Introductorio Necesitamos restar el ancho del largo.

$\frac{6x^2-5}{2x^2 + 4x - 6} - \frac{2x-7}{x+3}$

Si factorizamos el primer denominador, tenemos $2x^2+4x-6=(2x-2)(x+3)$ . Así que necesitamos multiplicar la segunda fracción por ${\color{red}\frac{2x-2}{2x-2}}$ .

$\frac{6x^2-5}{2x^2 + 4x - 6} -\overbrace{{\color{red}\frac{(2x-2)}{(2x-2)}} \cdot \frac{(2x-7)}{(x+3)}}^{FOIL} &= \frac{4x^2-18x+14}{2x^2+4x-6} \\\\frac{6x^2-5}{2x^2 + 4x - 6} - \frac{4x^2-18x+14}{2x^2+4x-6}\\\\frac{6x^2-5-(4x^2-18x+14)}{2x^2+4x-6}\\\\frac{6x^2-5-4x^2+18x-14}{2x^2+4x-6}\\\\frac{2x^2+18x-19}{2x^2+4x-6}$

Por lo tanto, el terreno de jardín es $\frac{2x^2+18x-19}{2x^2+4x-6}$ más largo que ancho.

Práctica Guiada

Realiza la operación indicada.

1. $\frac{2}{x+1} - \frac{x}{3x+3}$

2. $\frac{x-10}{x^2+4x-24} + \frac{x+3}{x+6}$

3. $\frac{3x^2-5}{3x^2-12} + \frac{x+8}{3x+6}$

Respuestas

1. El MCD es $3x+3$ o $3(x+1)$ . Multiplica la primera fracción por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{x+1} - \frac{x}{3x+3} &= \frac{3}{3} \cdot \frac{2}{x+1} - \frac{x}{3(x+1)} \\\&= \frac{6}{3(x+1)} - \frac{x}{3(x+1)} \\\&= \frac{6-x}{3(x+1)}$

2. Aquí, el MCD es $x^2+4x-24$ o $(x+6)(x-4)$ . Multiplica la segunda fracción por $\frac{x-4}{x-4}$ .

$\frac{x-10}{x^2+4x-24} + \frac{x+3}{x+6} &= \frac{x-10}{(x+6)(x-4)} + \frac{x+3}{x+6} \cdot \frac{x-4}{x-4} \\\&= \frac{x-10}{(x+6)(x-4)} + \frac{x^2-x-12}{(x+6)(x-4)} \\\&= \frac{x-10+x^2-x-12}{(x+6)(x-4)} \\\&= \frac{x^2-22}{(x+6)(x-4)}$

3. El MCD es $3x^2-12=3(x-2)(x+2)$ . Los factores del denominador de la segunda fracción son $3x+6=3(x+2)$ , por lo que necesita multiplicarse por $\frac{x-2}{x-2}$ .

$\frac{3x^2-5}{3x^2-12} + \frac{x+8}{3x+6} &= \frac{3x^2-5}{3(x-2)(x+2)} + \frac{x+8}{3(x+2)} \cdot \frac{x-2}{x-2} \\\&= \frac{3x^2-5}{3(x-2)(x+2)} + \frac{x^2+6x-16}{3(x-2)(x+2)} \\\&= \frac{3x^2-5+x^2+6x-16}{3(x-2)(x+2)} \\\&= \frac{4x^2+6x-21}{3(x-2)(x+2)}$

Práctica

Encuentra el MCD.

$x, \ 6x$
$x, \ x+1$
$x+2, \ x-4$
$x, \ x-1, \ x^2 - 1$

Realiza las operaciones indicadas.

$\frac{3}{x} - \frac{5}{4x}$
$\frac{x+2}{x+3} + \frac{x-1}{x^2+3x}$
$\frac{x}{x-7} - \frac{2x+7}{3x-21}$
$\frac{x^2+3x-10}{x^2-4} - \frac{x}{x+2}$
$\frac{5x+14}{2x^2-7x-15} - \frac{3}{x-5}$
$\frac{x-3}{3x^2+x-10} + \frac{3}{x+2}$
$\frac{x+1}{6x+2} + \frac{x^2-7x}{12x^2-14x-6}$
$\frac{-3x^2-10x+15}{10x^2-x-3} + \frac{x+4}{2x+1}$
$\frac{8}{2x-5} - \frac{x+5}{2x^2+x-15}$
$\frac{2}{x+2} + \frac{3x+16}{x^2-x-6} - \frac{2}{x-3}$
$\frac{6x^2+4x+8}{x^3+3x^2-x-3} + \frac{x-4}{x^2-1} - \frac{3x}{x^2+2x-3}$

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