Suma y Resta de Expresiones Racionales con Denominadores Distintos

En esta sección, sumarás y restarás expresiones racionales con denominadores distintos.

Una parte de un segmento linear mide $\frac{3}{x-2}$ . La otra parte del segmento linear mide $\frac{2}{x+1}$ . ¿Cuál es el largo total del segmento linear?

Orientación

En las dos secciones anteriores hemos facilitado el camino hacia esta. Ahora, sumaremos dos expresiones racionales en donde tendrás que multiplicar ambas fracciones por una constante para obtener el Mínimo Común Denominador o MCD. Recuerda cómo sumar las fracciones en donde los denominadores no son iguales.

$\frac{4}{15} + \frac{5}{18}$

Encuentra el MCD. $15=3 \cdot 5$ y $18=3 \cdot 6$ . Por lo tanto, tienen un factor común de 3. Siempre que los dos denominadores tengan un factor común, solo se necesita ponerlo una vez en el MCD. Por lo tanto, el MCD es $3 \cdot 5 \cdot 6=90$ .

$\frac{4}{15} + \frac{5}{18} &= \frac{4}{3 \cdot 5} + \frac{5}{3 \cdot 6} \\\&= {\color{red}\frac{6}{6}} \cdot \frac{4}{3 \cdot 5} + \frac{5}{3 \cdot 6} \cdot {\color{blue}\frac{5}{5}} \\\&= \frac{24}{90} + \frac{25}{90}\\\&= \frac{49}{90}$

Multiplicamos la primera fracción por $\frac{6}{6}$ para obtener 90 en el denominador. Recuerda que un número dividido por sí mismo es $6 \div 6=1$ . Por lo tanto, no hemos cambiado el valor de la fracción. Multiplicamos la segunda fracción por $\frac{5}{5}$ . Ahora, aplicaremos esta idea para las expresiones racionales.

Ejemplo A

Suma $\frac{x+5}{x^2-3x} + \frac{3}{x^2+2x}$ .

Solución: Primero, factoriza cada denominador para encontrar el MCD. El primer denominador, factorizado, es $x^2-3x=x(x-3)$ . El segundo denominador es $x^2+2x=x(x+2)$ . Ambos denominadores tienen una $x$ , por lo que solo necesitamos anotarla una vez. El MCD es $x(x-3)(x+2)$ .

$\frac{x+5}{x^2-3x} + \frac{3}{x^2+2x} = \frac{x+5}{x(x-3)} + \frac{3}{x(x+2)}$

Si miramos los dos denominadores factorizados, vemos que la primera fracción necesita multiplicarse por $\frac{x+2}{x+2}$ y que la segunda fracción necesita multiplicarse por $\frac{x+3}{x+3}$ .

$&= {\color{red}\frac{x+2}{x+2}} \cdot \frac{x+5}{x{\color{blue}(x-3)}} + \frac{3}{x{\color{red}(x+2)}} \cdot {\color{blue}\frac{x-3}{x-3}} \\\&= \frac{(x+2)(x+5)+3(x-3)}{x{\color{red}(x+2)} {\color{blue}(x-3)}}$

En este punto, necesitamos usar el método PIES en la primera expresión y distribuir el 3 a la segunda. Finalmente, necesitamos combinar los términos similares.

$&= \frac{x^2+7x+10+3x-9}{x(x+2)(x-3)} \\\&= \frac{x^2+10x+1}{x(x+2)(x-3)}$

El cuadrático en el numerador no es factorizable, por lo que no tenemos nada más que hacer.

Ejemplo B

Suma $\frac{4}{x+6} + \frac{x-2}{3x+1}$ .

Solución: Los denominadores no tienen factores comunes, por lo que el MCD será $(x+6)(3x+1)$ .

$\frac{4}{x+6} + \frac{x-2}{3x+1} &= {\color{red}\frac{3x+1}{3x+1}} \cdot \frac{4}{{\color{blue}x+6}} + \frac{x-2}{{\color{red}3x+1}} \cdot {\color{blue}\frac{x+6}{x+6}} \\\&= \frac{4(3x+1)}{{\color{red}(3x+1)}{\color{blue}(x+6)}} + \frac{(x-2)(x+6)}{{\color{red}(3x+1)} {\color{blue}(x+6)}} \\\&= \frac{12x+4+x^2+4x-12}{{\color{red}(3x+1)} {\color{blue}(x+6)}} \\\&= \frac{x^2+16x-8}{(3x+1)(x+6)}$

Ejemplo C

Resta $\frac{x-1}{x^2+5x+4} - \frac{x+2}{2x^2+13x+20}$ .

Solución: Para encontrar el MCD, necesitamos factorizar los denominadores.

$x^2+5x+4 &= {\color{red}(x+1)} {\color{green}(x+4)} \\\2x^2+13x+20 &= {\color{blue}(2x+5)} {\color{green}(x+4)} \\\LCD &= {\color{red}(x+1)} {\color{blue}(2x+5)} {\color{green}(x+4)}$

$\frac{x-1}{x^2+5x+4} - \frac{x+2}{2x^2+13x+20} &= \frac{x-1}{{\color{red}(x+1)} {\color{green}(x+4)}} - \frac{x+2}{{\color{blue}(2x+5)}(x+4)} \\\&= {\color{blue}\frac{2x+5}{2x+5}} \cdot \frac{x-1}{{\color{red}(x+1)}{\color{green}(x+4)}} - \frac{x+2}{{\color{blue}(2x+5)}{\color{green}(x+4)}} \cdot {\color{red}\frac{x+1}{x+1}} \\\&= \frac{(2x+5)(x-1)-(x+2)(x+1)}{{\color{red}(x+1)}{\color{blue}(2x+5)}{\color{green}(x+4)}} \\\&= \frac{2x^2+3x-5-(x^2+3x+2)}{(x+1)(2x+5)(x+4)} \\\&= \frac{2x^2+3x-5-x^2-3x-2}{(x+1)(2x+5)(x+4)} \\\&= \frac{x^2-7}{(x+1)(2x+5)(x+4)}$

Revisión del Problema Introductorio Necesitamos sumar las dos partes del segmento para obtener el segmento completo.

$\frac{3}{x-2} + \frac{2}{x+1}$

Los denominadores no tienen factores comunes, por lo que el MCD será $(x-2)(x+1)$ .

$\frac{3}{x-2} + \frac{2}{x+1} &= {\color{red}\frac{x+1}{x+1}} \cdot \frac{3}{{\color{blue}x-2}} + \frac{2}{{\color{red}x+1}} \cdot {\color{blue}\frac{x-2}{x-2}} \\\&= \frac{3(x+1)}{{\color{red}(x+1)}{\color{blue}(x-2)}} + \frac{(2)(x-2)}{{\color{red}(x+1)} {\color{blue}(x-2)}} \\\&= \frac{3x+3+2x-4}{{\color{red}(x+1)} {\color{blue}(x-2)}} \\\&= \frac{5x-1}{(x+1)(x-2)}$

Por lo tanto, el largo total del segmento linear es $\frac{5x-1}{(x+1)(x-2)}$ .

Práctica Guiada

Realiza la operación indicada.

1. $\frac{3}{x^2-6x} + \frac{5-x}{2x-12}$

2. $\frac{x}{x^2+4x+4} - \frac{x-5}{x^2+5x+6}$

3. $\frac{2x}{x^2-x-20} + \frac{x^2-9}{x^2-1}$

Respuestas

1. El MCD es $3x(x-6)$ .

$\frac{3}{x^2-6x} + \frac{5-x}{2x-12} &= \frac{2}{2} \cdot \frac{3}{x(x-6)} + \frac{5-x}{2(x-6)} \cdot \frac{x}{x} \\\&= \frac{6+x(5-x)}{2x(x-6)} \\\&= \frac{6+5x-x^2}{2x(x-6)} \\\&= \frac{-1(x^2-5x-6)}{2x(x-6)}$

Sacamos un -1 de los numeradores, por lo que podemos factorizarlo.

$&= \frac{-1 \bcancel{(x-6)}(x+1)}{2x \bcancel{(x-6)}} \\\&= \frac{-x-1}{2x}$

2. El MCD es $(x+2)(x+2)(x+3)$ .

$\frac{x}{x^2+4x+4} - \frac{x-5}{x^2+5x+6} &= \frac{x+3}{x+3} \cdot \frac{x}{(x+2)(x+2)} - \frac{x-5}{(x+2)(x+3)} \cdot \frac{x+2}{x+2} \\\&= \frac{x(x+3)-(x-5)(x+2)}{(x+2)(x+2)(x+3)} \\\&= \frac{x^2+3x-(x^2-3x-10)}{(x+2)^2(x+3)} \\\&= \frac{x^2+3x-x^2+3x+10}{(x+2)^2(x+3)} \\\&= \frac{6x+10}{(x+2)^2(x+3)} \\\&= \frac{2(3x+5)}{(x+2)^2(x+3)}$

3. El MCD es $(x-5)(x+4)(x+1)(x-1)$ .

$\frac{2x}{x^2-x-20} + \frac{x^2-9}{x^2-1} &= \frac{(x+1)(x-1)}{(x+1)(x-1)} \cdot \frac{2x}{(x-5)(x+4)} + \frac{x^2-9}{(x+1)(x-1)} \cdot \frac{(x-5)(x+4)}{(x-5)(x+4)} \\\&= \frac{2x(x+1)(x-1)+(x^2-9)(x-5)(x+4)}{(x-5)(x+4)(x+1)(x-1)} \\\&= \frac{2x^3-2x+x^4-x^3-29x^2+9x+180}{(x-5)(x+4)(x+1)(x-1)} \\\&= \frac{x^4+x^3-29x^2+7x+180}{(x-5)(x+4)(x+1)(x-1)}$

Práctica

Encuentra el MCD.

$3x, \ 7x$
$x-2, \ 2x-1$
$x^2 - 9, \ x^2-x-6$
$4x, \ x^2-6x$
$x^2-4, \ x^2+4x+4, \ x^2+3x-10$