Fracciones Complejas

En este subcapítulo, simplificarás fracciones complejas.

Gupta conoce el área y el ancho de un rectángulo. A él se le ocurre esta ecuación para el largo del rectángulo $\frac{\frac{2}{x^2-1}}{\frac{2x}{x+1}}$ . ¿Cuál es el largo del rectángulo en su forma simplificada?

Orientación

Una fracción compleja es una fracción que tiene fracciones en el numerador y/o el denominador. Para simplificar una fracción compleja, necesitarás combinar todo lo que has aprendido en las secciones anteriores.

Ejemplo A

Simplifica $\frac{\frac{9x}{x+2}}{\frac{3}{x^2-4}}$ .

Solución: Esta fracción compleja es una fracción dividida por otra fracción. Reescribe la fracción compleja como un problema de división.

$\frac{\frac{9x}{x+2}}{\frac{3}{x^2-4}} = \frac{9x}{x+2} \div \frac{3}{x^2-4}$ .

Ahora, estos es igual que la sección Dividir Expresiones Racionales . Invierte la segunda fracción, cambia el problema a multiplicación y simplifica.

$\frac{9x}{x+2} \div \frac{3}{x^2-4} = \frac{9x}{x+2} \cdot \frac{x^2-4}{3} = \frac{\overset{3}{\bcancel{9}x}}{\cancel{x+2}} \cdot \frac{\cancel{(x+2)}(x-2)}{\bcancel{3}} = 3x(x-2)$

Ejemplo B

Simplifica $\frac{\frac{1}{x} + \frac{1}{x+1}}{4- \frac{1}{x}}$ .

Solución: Para simplificar esta fracción compleja, primero necesitamos sumar las fracciones en el numerador y restar las del denominador. El MCD del numerador es $x(x+1)$ y el denominador es, simplemente $x$ .

$\frac{\frac{1}{x} + \frac{1}{x+1}}{4- \frac{1}{x}} = \frac{{\color{red}\frac{x+1}{x+1}} \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x+1} \cdot {\color{blue}\frac{x}{x}}}{{\color{blue}\frac{x}{x}} \cdot 4- \frac{1}{x}} = \frac{\frac{x+1}{x(x+1)} + \frac{x}{x(x+1)}}{\frac{4x}{x} - \frac{1}{x}} = \frac{\frac{2x+1}{x(x+1)}}{\frac{4x-1}{x}}$

Ahora, esta fracción es tal como la del Ejemplo A. Divide y simplifica si es posible.

$\frac{\frac{2x+1}{x(x+1)}}{\frac{4x-1}{x}} = \frac{2x+1}{x(x+1)} \div \frac{4x-1}{x} = \frac{2x+1}{\cancel{x}(x+1)} \cdot \frac{\cancel{x}}{4x-1} = \frac{2x+1}{(x+1)(4x-1)}$

Ejemplo C

Simplifica $\frac{\frac{5-x}{x^2+6x+8} + \frac{x}{x+4}}{\frac{6}{x+2} - \frac{2x+3}{x^2-3x-10}}$ .

Solución: Primero, suma las fracciones en el numerador y resta las del denominador.

$\frac{\frac{5-x}{x^2+6x+8} + \frac{x}{x+4}}{\frac{6}{x+2} - \frac{2x+3}{x^2-3x-10}} = \frac{\frac{5-x}{(x+4){\color{red}(x+2)}} + \frac{x}{x+4} \cdot {\color{red}\frac{x+2}{x+2}}}{{\color{blue}\frac{x-5}{x-5}} \cdot \frac{6}{x+2} - \frac{2x+3}{(x+2){\color{blue}(x-5)}}} = \frac{\frac{5-x+x(x+2)}{(x+4)(x+2)}}{\frac{6(x-5)-(2x+3)}{(x+2)(x-5)}} = \frac{\frac{x^2+x+5}{(x+4)(x+2)}}{\frac{4x-36}{(x+2)(x-5)}}$

Ahora, reescríbela como un problema de división, inviértela, multiplícala y simplifica.

$\frac{\frac{x^2+x+5}{(x+4)(x+2)}}{\frac{4x-36}{(x+2)(x-5)}} = \frac{x^2+x+5}{(x+4)(x+2)} \div \frac{4x-36}{(x+2)(x-5)} = \frac{x^2+x+5}{(x+4)\cancel{(x+2)}} \cdot \frac{\cancel{(x+2)}(x-5)}{4(x-9)} = \frac{(x^2+x+5)(x-5)}{4(x+4)(x-9)}$

Revisión del Problema Introductorio Esta fracción compleja es una fracción dividida por otra fracción. Reescribe la fracción compleja como un problema de división.

$\frac{\frac{2}{x^2-1}}{\frac{2x}{x+1}} = \frac{2}{x^2-1} \div \frac{2x}{x+1}$ .

Invierte la segunda fracción, cambia el problema a multiplicación y simplifica.

$\frac{2}{x^2-1} \div \frac{2x}{x+1} = \frac{2}{x^2-1} \cdot \frac{x+1}{2x} = \frac{\bcancel{2}}{\bcancel{(x+1)}(x-1)} \cdot \frac{\bcancel{(x+1)}}{\bcancel{2}x} = \frac {1}{x^2-x}$

Por lo tanto, el largo del rectángulo en su forma simplificada es $\frac {1}{x^2-x}$ .

Práctica Guiada

Simplifica las fracciones complejas.

1. $\frac{\frac{5x-20}{x^2}}{\frac{x-4}{x}}$

2. $\frac{\frac{1-x}{x} - \frac{2}{x-1}}{1 + \frac{1}{x}}$

3. $\frac{\frac{3}{2x^2+12x+18} + \frac{x}{x^2-9}}{\frac{6x}{3x-9} - \frac{3}{x-3}}$

Respuestas

1. Reescribe la fracción como un problema de división y simplifica.

$\frac{\frac{5x-20}{x^2}}{\frac{x-4}{x}} = \frac{5x-20}{x^2} \div \frac{x-4}{x} = \frac{5 \cancel{(x-4)}}{x^{\cancel{2}}} \cdot \frac{\cancel{x}}{\cancel{x-4}} = \frac{5}{x}$

2. Suma las fracciones en el numerador y en el denominador.

$\frac{\frac{1-x}{x} - \frac{2}{x-1}}{1+\frac{1}{x}} = \frac{\frac{x-1}{x-1} \cdot \frac{1-x}{x} - \frac{2}{x-1} \cdot \frac{x}{x}}{\frac{x}{x} \cdot 1+ \frac{1}{x}} = \frac{\frac{(x-1)(1-x)-2x}{x(x-1)}}{\frac{x+1}{x}} = \frac{\frac{-x^2+1}{x(x-1)}}{\frac{x+1}{x}}$

Ahora, reescribe la fracción como un problema de división y simplifica.

$\frac{-x^2+1}{x(x-1)} \div \frac{x+1}{x} &= \frac{-(x^2-1)}{x(x-1)} \cdot \frac{x}{x+1} \\\&= \frac{-\cancel{(x-1)} \cancel{(x+1)}}{\cancel{x} \cancel{(x-1)}} \cdot \frac{\cancel{x}} {\cancel{x+1}} \\\&= -1$

3. Suma el numerador y resta el denominador de esta fracción compleja.

$\frac{\frac{3}{2x^2+12x+18} + \frac{x}{x^2-9}}{\frac{6x}{3x-9} - \frac{3}{x-3}} &= \frac{\frac{x-3}{x-3} \cdot \frac{3}{2(x+3)(x+3)} + \frac{x}{(x-3)(x+3)} \cdot \frac{2(x+3)}{2(x+3)}}{\frac{6x}{3(x-3)} - \frac{3}{x-3} \cdot \frac{3}{3}} \\\&= \frac{\frac{3(x-3)+2x(x+3)}{2(x+3)(x+3)(x-3)}}{\frac{6x-9}{3(x-3)}} \\\&= \frac{\frac{2x^2+3x-9}{2(x+3)(x+3)(x-3)}}{\frac{\bcancel{3}(2x-3)}{\bcancel{3}(x-3)}}$

Ahora, invierte y multiplica.

$\frac{2x^2+3x-9}{2(x+3)(x+3)(x-3)} \div \frac{2x-3}{x-3} &= \frac{\cancel{(x+3)} \cancel{(2x-3)}}{2\cancel{(x+3)}(x+3)\cancel{(x-3)}} \cdot \frac{\cancel{x-3}}{\cancel{2x-3}} \\\&= \frac{1}{2(x+3)}$

Vocabulario

Fracción Compleja: Una fracción con una expresión(es) racional(es) en el numerador y denominador.

Práctica