Resolver Ecuaciones Racionales Usando la Multiplicación Cruzada

En esta sección, usarás la multiplicación cruzada para resolver ecuaciones racionales.

Un modelo a escala de un auto de carreras está en una razón 1: x con el auto de carreras real. El largo del modelo es de $2x-21$ unidades, y el largo del auto de carreras real es de $x^2$ unidades. ¿Cuál es el valor de x ?

Orientación

Una ecuación racional es una ecuación en donde hay expresiones racionales en ambos lados de un signo igual. Una forma de resolver las ecuaciones racionales es usar la multiplicación cruzada. Aquí hay un ejemplo de una proporción que podemos resolver usando la multiplicación cruzada.

Si necesitas un repaso más profundo de la multiplicación cruzada, véase la sección Propiedad de las Proporciones Si no lo necesitas, comenzaremos resolviendo ecuaciones racionales usando la multiplicación cruzada.

Ejemplo A

Resuelve $\frac{x}{2x-3}=\frac{3x}{x+11}$ .

Solución: Usa la multiplicación cruzada para resolver el problema. Puedes usar el ejemplo anterior como una guía.

Revisa tus respuestas. Es posible obtener soluciones extrañas con las expresiones racionales.

$\frac{0}{2 \cdot 0-3}&=\frac{3 \cdot 0}{0+11} && \frac{4}{2 \cdot 4-3}=\frac{3 \cdot 4}{4+11} \\\\frac{0}{-3}&=\frac{0}{11} \ && \qquad \quad \frac{4}{5}=\frac{12}{15} \\\0&=0 && \qquad \quad \frac{4}{5}=\frac{4}{5}$

Ejemplo B

Resuelve $\frac{x+1}{4}=\frac{3}{x-3}$ .

Solución: Multiplica cruzado y resuelve.

$\frac{x+1}{4}&=\frac{3}{x-3} \\\12&=x^2-2x-3 \\\0&=x^2-2x-15 \\\0&=(x-5)(x+3) \\\x&=5 \ and \ -3$

Revisa tus respuestas.

$\frac{5+1}{4}=\frac{3}{5-3} \rightarrow \frac{6}{4}=\frac{3}{2}$ y

$\frac{-3+1}{4}=\frac{3}{-3-3} \rightarrow \frac{-2}{4}=\frac{3}{-6}$

Ejemplo C

Resuelve $\frac{x^2}{2x-5}=\frac{x+8}{2}$ .

Solución: Multiplica cruzado.

$\frac{x^2}{2x-5}&=\frac{x+8}{2} \\\2x^2+11x-40&=2x^2 \\\11x-40&=0 \\\11x&=40 \\\x&=\frac{40}{11}$

Revisa la respuesta: $\frac{\left(\frac{40}{11}\right)^2}{\frac{80}{11}-5}=\frac{\frac{40}{11}+8}{2} \rightarrow \frac{1600}{121} \div \frac{25}{11}=\frac{128}{11} \div 2 \rightarrow \frac{64}{11}=\frac{128}{22}$

Revisión del Problema Introductorio Necesitamos establecer una ecuación racional para encontrar x .

$\frac{1}{x} = \frac{2x-21}{x^2}$

Ahora, multiplica cruzado.

$x^2 = x(2x-21)\\\x^2 = 2x^2 - 21x\\\0 = x^2 - 21x\\\0 = x(x - 21)\\\x = 0, 21$

Sin embargo, x es un ratio, por lo que debe ser mayor que 0. Por lo tanto x es igual a 21 y el modelo está en la razón 1:21 con el auto de carreras real.

Práctica Guiada

Resuelve las siguientes ecuaciones racionales.

1. $\frac{-x}{x-1}=\frac{x-8}{3}$

2. $\frac{x^2-1}{x+2}=\frac{2x-1}{2}$

3. $\frac{9-x}{x^2}=\frac{4}{3x}$

Respuestas

1. $\frac{-x}{x-1}&=\frac{x-8}{3} \\\x^2-9x+8&=-3x \\\x^2-6x+8&=0 \\\(x-4)(x-2)&=0\\\x&=4 \ and \ 2$

$\text{Check}: x=4 \rightarrow \frac{-4}{4-1}&=\frac{4-8}{3} && x=2 \rightarrow \frac{-2}{2-1}=\frac{2-8}{3} \\\\frac{-4}{3}&=\frac{-4}{3} && \qquad \qquad \quad \frac{-2}{1}=\frac{-6}{3}$

2. $\frac{x^2-1}{x+2}&=\frac{2x-1}{2} \\\2x^2+3x-2&=2x^2-2\\\3x&=0 \\\x&=0$

$\text{Check}: \frac{0^2-1}{0+2}&=\frac{2 \left(0\right)-1}{2} \\\\frac{-1}{2}&=\frac{-1}{2}$

3. $\frac{9-x}{x^2}&=\frac{4}{-3x} \\\4x^2&=-27x+3x^2 \\\x^2+27x&=0 \\\x(x+27)&=0 \\\x&=0 \ and \ -27$

$\text{Check}: x=0 \rightarrow \frac{9-0}{0^2}&=\frac{4}{-3 \left(0\right)} && x=-27 \rightarrow \frac{9+27}{\left(-27\right)^2}=\frac{4}{-3 \left(-27\right)} \\\und&=und && \qquad \qquad \qquad \quad \frac{36}{729}=\frac{4}{81} \\\& && \qquad \qquad \qquad \quad \ \frac{4}{81}=\frac{4}{81}$

$x = 0$ en realidad no es una solución, ya que es una asíntota vertical en cada expresión racional si se grafica. Ya que cero no es una parte del dominio, no puede ser una solución, y es extraño.

Vocabulario

Ecuación Racional: Una ecuación en donde hay expresiones racionales en ambos lados de un signo igual.

Conjunto de Problemas

¿ $x=-2$ es una solución de $\frac{x-1}{x-4}=\frac{x^2-1}{x+4}$ ?