Resolver Ecuaciones Racionales Usando el MCD

En esta sección, usarás el MCD de las expresiones en una ecuación racional para encontrar $x$ .

Un triángulo rectángulo tiene catetos con un largo de $\frac{1}{2}$ y $\frac{1}{x}$ unidades. Su hipotenusa es de 2 unidades. ¿Cuál es el valor de x ?.

Orientación

Además de usar la multiplicación cruzada para resolver ecuaciones racionales, también podemos usar el MCD de todas las expresiones racionales en la ecuación y eliminar la fracción. Para demostrarlo, veremos algunos ejemplos.

Ejemplo A

Resuelve $\frac{5}{2}+\frac{1}{x}=3$ .

Solución: El MCD de 2 y $x$ es $2x$ . Multiplica cada término por $2x$ , por lo que los denominadores se eliminan. Pondremos el $2x$ sobre un 1 cuando lo multipliquemos por las fracciones, por lo que es más fácil ordenarlas y cancelarlas.

$\frac{5}{2}+ \frac{1}{x}&=3 \\\{\color{blue}\frac{\cancel{2}x}{1}} \cdot \frac{5}{\cancel{2}}+ {\color{blue}\frac{2\cancel{x}}{1}} \cdot \frac{1}{\cancel{x}}&=2x \cdot 3 \\\5x+2&=6x \\\2&=x$

Si revisamos la respuesta, tenemos $\frac{5}{2}+ \frac{1}{2}=3 \rightarrow \frac{6}{2}=3$

Ejemplo B

Resuelve $\frac{5x}{x-2}=7+ \frac{10}{x-2}$ .

Solución: Ya que los denominadores son iguales, necesitamos multiplicar los tres términos por $x-2$ .

$\frac{5x}{x-2}&=7+ \frac{10}{x-2} \\\{\color{blue}\cancel{(x-2)}} \cdot \frac{5x}{\cancel{x-2}}&={\color{blue}(x-2)} \cdot 7+{\color{blue}\cancel{(x-2)}} \cdot \frac{10}{\cancel{x-2}} \\\5x&=7x-14+10 \\\-2x&=-4 \\\x&=2$

Si revisamos nuestra respuesta, tenemos: $\frac{5 \cdot 2}{2-2}=7+ \frac{10}{2-2} \rightarrow \frac{10}{0}=7+\frac{10}{0}$ . Ya que la solución es la asíntota vertical de dos de las expresiones, $x=2$ es una solución extraña. Por lo tanto, no hay solución para este problema.

Ejemplo C

Resuelve $\frac{3}{x}+\frac{4}{5}=\frac{6}{x-2}$ .

Solución: Determina el MCD de 5, $x$ , y $x-2$ . Sería los tres números multiplicados: $5x(x-2)$ . Multiplica cada término por el MCD.

$\frac{3}{x}+ \frac{4}{5}&=\frac{6}{x-2} \\\{\color{blue}\frac{5 \cancel{x} \left(x-2\right)}{1}} \cdot \frac{3}{\cancel{x}}+ {\color{blue}\frac{\cancel{5}x \left(x-2\right)}{1}} \cdot \frac{4}{\cancel{5}}&={\color{blue}\frac{5x \cancel{\left(x-2\right)}}{1}} \cdot \frac{6}{\cancel{x-2}} \\\15(x-2)+4x(x-2)&=30x$

Multiplicar cada término por el MCD completo cancela cada denominador, de tal forma que tenemos una ecuación que ya hemos aprendido como resolver en las secciones anteriores. Distribuye el 15 y el $4x$ , combina los términos similares y resuelve.

$15x-30+4x^2-8x&=30x \\\4x^2-23x-30&=0$

Este polinomio no es factorizable. Usemos la Fórmula para Cuadráticos para encontrar las soluciones.

$x=\frac{23 \pm \sqrt{\left(-23\right)^2-4 \cdot 4 \cdot \left(-30\right)}}{2 \cdot 4}=\frac{23 \pm \sqrt{1009}}{8}$

Aproximadamente, las soluciones son $\frac{23+ \sqrt{1009}}{8}\approx 6.85$ y $\frac{23- \sqrt{1009}}{8}\approx -1.096$ . Es más difícil verificar estas soluciones. Lo más fácil es graficar $\frac{3}{x}+ \frac{4}{5}$ en $Y1$ y $\frac{6}{x-2}$ en $Y2$ (usando tu calculadora graficadora).

Los valores de $x$ de los puntos de intercepto (puntos morados en el gráfico) son, aproximadamente, iguales a las soluciones que encontramos.

Revisión del Problema Introductorio Necesitamos usar el Teorema de Pitágoras para encontrar x .

$(\frac{1}{2})^2 +(\frac{1}{x})^2 = 2^2\\\\frac{1}{4} + \frac{1}{x^2} = 4\\\{\color{blue}\frac{\cancel{4}x^2}{1}} \cdot \frac{1}{\cancel{4}}+ {\color{blue}\frac{4\cancel{x^2}}{1}} \cdot \frac{1}{\cancel{x^2}}&=4 \cdot 4x^2 \\\x^2+4&=16x^2 \\\4=15x^2\\\\frac{4}{15}=x^2\\\x=\frac{2\sqrt{15}}{15}$

Práctica Guiada

Resuelve las siguientes ecuaciones.

1. $\frac{2x}{x-3}=2+\frac{3x}{x^2-9}$

2. $\frac{4}{x-3}+5=\frac{9}{x+2}$

3. $\frac{3}{x^2+4x+4}+ \frac{1}{x+2}=\frac{2}{x^2-4}$

Respuestas

1. El MCD es $x^2-9$ . Multiplica cada término por su forma factorizada para cancelarlos.

$\frac{2x}{x-3}&=2+ \frac{3x}{x^2-9} \\\{\color{blue}\frac{\cancel{\left(x-3\right)}\left(x+3\right)}{1}} \cdot \frac{2x}{\cancel{x-3}}&={\color{blue}(x-3)(x+3) \cdot} 2+ {\color{blue}\frac{\cancel{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}}{1}\cdot} \frac{3x}{\cancel{x^2-9}} \\\2x(x+3)&=2(x^2-9)+3x \\\2x^2+6x&=2x^2-18+3x \\\3x&=-18 \\\x&=-6$

Si revisamos nuestra respuesta, tenemos: $\frac{2 \left(-6\right)}{-6-3}=2+ \frac{3 \left(-6\right)}{\left(-6\right)^2-9} \rightarrow \frac{-12}{-9}=2+ \frac{-18}{27} \rightarrow \frac{4}{3}=2- \frac{2}{3}$

2. El MCD es $(x-3)(x+2)$ . Multiplica cada término por el MCD.

$\frac{4}{x-3}+5&=\frac{9}{x+2} \\\{\color{blue}\cancel{(x-3)}(x+2)} \cdot \frac{4}{\cancel{x-3}}+ {\color{blue}(x-3)(x+2)} \cdot 5&={\color{blue}(x-3)\cancel{(x+2)}} \cdot \frac{9}{\cancel{x+2}} \\\4(x+2)+5(x-3)(x+2)&=9(x-3) \\\4x+8+5x^2-5x-30&=9x-27 \\\5x^2-10x+5&=0 \\\5(x^2-2x+1)&=0 \\\$

Los factores de este polinomio son $5(x-1)(x-1)=0$ , por lo que $x = 1$ es una solución repetida. Si revisamos nuestra respuesta, tenemos $\frac{4}{1-3}+5=\frac{9}{1+2} \rightarrow -2+5=3$

3. El MCD es $(x+2)(x+2)(x-2)$ .

$\frac{3}{x^2+4x+4}+ \frac{1}{x+2}&=\frac{2}{x^2-4} \\\{\color{blue}\cancel{(x+2)(x+2)}(x-2)} \cdot \frac{3}{\cancel{\left(x+2\right)\left(x+2\right)}}+ {\color{blue}\cancel{(x+2)}(x+2)(x-2)} \cdot \frac{1}{\cancel{x+2}}&={\color{blue}(x+2)\cancel{(x+2)(x-2)}} \cdot \frac{2}{\cancel{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}} \\\3(x-2)+(x-2)(x+2)&=2(x+2) \\\3x-6+x^2-4&=2x+4 \\\x^2+x-14&=0$

Este cuadrático no es factorizable, por lo que necesitamos usar la Fórmula para Cuadráticos para encontrar $x$ .

$x=\frac{-1 \pm \sqrt{1-4 \left(-14\right)}}{2}=\frac{-1 \pm \sqrt{57}}{2} \approx 3.27$ y $-4.27$

Usando tu calculadora gráfica, puedes revisar la respuesta. Los valores de $x$ de los puntos de la intersección de $y=\frac{3}{x^2+4x+4}+ \frac{1}{x+2}$ y $y=\frac{2}{x^2-4}$ son los mismos que los valores anteriores.

Práctica

Determina si los siguientes valores para x son soluciones de las ecuaciones dadas.

$\frac{4}{x-3} + 2 = \frac{3}{x+4}, \ x=-1$
$\frac{2x-1}{x-5} - 3 = \frac{x+6}{2x}, \ x=6$

¿Cuál es el MCD de cada conjunto de números?

$4-x, \ x^2 - 16$
$2x, \ 6x-12, \ x^2 - 9$
$x-3, \ x^2-x-6, \ x^2-4$