Parábolas con Vértice en el Origen

En esta sección, aprenderás a escribir y graficar la ecuación de una parábola con vértice en $(0, 0)$ , y a encontrar el foco, la directriz y el vértice.

El área de un cuadrado está representada por la ecuación $y = 9x^2$ . ¿Cuál es el foco y la directriz de esta ecuación?

Orientación

Ya sabes que el gráfico de una parábola tiene como gráfico madre $y=x^2$ , con un vértice de $(0, 0)$ y un eje de simetría de $x = 0$ . Una parábola puede también definirse de una manera distinta. Esta posee una propiedad la cual consiste en que cualquier punto en ella es equidistante de otro punto llamado foco , y de una recta llamada directriz. .

El foco se encuentra en el eje de simetría y el vértice está ubicado al medio entre el foco y la directriz. La directriz es perpendicular al eje de simetría.

Hasta ahora, estamos acostumbrados a ver la ecuación de una parábola con forma $y=ax^2$ . En esta sección, reescribiremos la ecuación para que tenga forma $x^2=4py$ donde $p$ se usa para encontrar el foco y la directriz. Además, dibujaremos la parábola con una orientación horizontal para que la ecuación sea $y^2=4px$ .

Observa que cuyo la parábola se abre hacia la izquierda o hacia la derecha, la $y$ está al cuadrado. En esta sección, el vértice será $(0, 0)$ .

Ejemplo A

Analiza la ecuación $y^2=-12x$ . Encuentra el foco, la directriz y determina si la función hace que la parábola se abra hacia arriba, hacia abajo o hacia los lados. Luego, grafica la parábola.

Solución: Para encontrar el foco y la directriz, debemos encontrar $p$ . Podemos colocar $-12 = 4p$ y resolver para obtener $p$ .

$-12&=4p \\\-3&=p$

Ya que $y$ está al cuadrado, sabemos que la parábola se abrirá hacia la derecha o hacia la izquierda. Debido a que $p$ es negativo, sabemos que la parábola se abrirá hacia la izquierda miryo hacia el lado negativo del eje $x$ -. Recurriendo a las imágenes anteriores, podemos observar que esta parábola es como la segunda de la parte de abajo $y^2=4px$ . Por lo tanto, el foco es $(-3,0)$ y la directriz $x=3$ . Para graficar la parábola, traza el vértice, el foco y la directriz para luego dibujar la curva. Encuentra al menos uno o dos puntos en la curva para asegurarte de que tu dibujo es acertado. Por ejemplo, ya que $(-3, 6)$ está en la parábola, entonces $(-3, -6)$ también lo está ya que esta es simétrica.

Observa que los puntos $(-3, 6)$ y $(-3, -6)$ son equidistantes del foco y la directriz. Ambos están a 6 unidades del otro.

Ejemplo B

El foco de una parábola es $\left(0, \frac{1}{2}\right)$ . Encuentra la ecuación de la parábola.

Solución: Ya que el valor $p$ es el valor $y$ y es positivo, esta parábola se abrirá hacia arriba. Entonces, la ecuación general es $x^2=4py$ . Reemplazyo $\frac{1}{2}$ por $p$ , en la ecuación, obtenemos $x^2=4 \cdot \frac{1}{2}y$ o $x^2=2y$ .

Ejemplo C

Encuentra la ecuación de la parábola a continuación.

Solución: La ecuación de la directriz es $y = 5$ , lo que significa que $p = -5$ y la ecuación general será $x^2=4py$ . Reemplazyo -5 for $p$ , obtenemos $x^2=-20y$ .

Revisión del Problema Introductorio Para encontrar el foco y la directriz, debemos resolver para encontrar $x^2> y then find <math>p$ .

$y = 9x^2\\\\frac{1}{9} y = x^2$

Ahora, podemos colocar $\frac{1}{9} = 4p$ y resolver para obtener $p$ .

$\frac{1}{9} = 4p \\\\frac{1}{36}=p$

Por lo tanto, el foco es $(0, \frac{1}{36})$ y la directriz es $y = -\frac{1}{36}$ .

Práctica Guiada

1. Determine if the parabola $x^2=-2y$ se abre hacia arriba, hacia abajo, o hacia los lados.

2. Encuentra el foco y la directriz de $y^2=6x$ . Luego, grafica la parábola.

3. Encuentra la ecuación de la parábola con la directriz $x=- \frac{3}{8}$ .

Respuestas

1. Se abre hacia abajo; $p$ es negativo y $x$ está al cuadrado.

2. Al resolver para encontrar $p$ , obtenemos que $4p=6 \rightarrow p=\frac{3}{2}$ . Ya que $y$ está al cuadrado y $p$ es positivo, la parábola se abrirá hacia la derecha. El foco es $\left(\frac{3}{2},0\right)$ y la directriz $x=- \frac{3}{2}$ .

3. Si la directriz es negativa y vertical $(x = )$ , sabemos que la ecuación va a ser $y^2=4px$ y que la parábola se abrirá hacia la derecha haciendo a $p$ positivo $p=\frac{3}{8}$ . Por lo tanto, la ecuación será $y^2=4 \cdot \frac{3}{8} \cdot x \rightarrow y^2= \frac{3}{2}x$ .

Vocabulario

Parábola: Conjunto de puntos los cuales son equidistantes de un punto al interior de la curva, el cual se llama foco , y una recta en el interior llamada directriz . La directriz es vertical u horizontal, dependiendo de la orientación de la parábola.

Ecuación de una Parábola, Vértice en el Origen: $y^2=4px$ o $^2=4py$

Práctica

Determina si la parábola se abre hacia arriba, hacia abajo o hacia los lados.

$x^2=4y$
$y^2=- \frac{1}{2}x$
$x^2=-y$

Encuentra el foco y la directriz de las siguientes parábolas.

$x^2=-2y$
$y^2=\frac{1}{4}x$
$y^2=-5x$

Grafica las siguientes parábolas. Identifica el foco y la directriz.

$x^2=8y$
$y^2=\frac{1}{2}x$
$x^2=-3y$

Encuentra el foco o la directriz de la ecuación y su parábola teniendo en cuenta que el vértice es $(0, 0)$

foco: $(4, 0)$
directriz: $x = 10$
foco: $\left(0, \frac{7}{2}\right)$
En capítulo de las Cuadráticas la ecuación básica de la parábola era $y=ax^2$ . Ahora, escribimos $x^2=4py$ . Reescribe $p$ en términos de $a$ y determina cómo se afectan el uno al otro.
Desafío Usa la fórmula de la distancia, $d=\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2- \left(y_2-y_1\right)^2}$ , para comprobar que el punto $(4, 2)$ se encuentra en la parábola $x^2=8y$ .
Aplicación en la Vida Real Una antena parabólica es una parábola tridimensional que se utiliza para captar ondas sonoras, de televisión u otro tipo de ondas. Asumiendo que el vértice es $(0, 0)$ , ¿Dónde debería estar el foco en una antena parabólica de 4 pies de ancho y 9 pulgadas de profundidad? Puedes asumir que la parábola tiene una orientación vertical (se abre hacia arriba).