Parábolas con Vértice en (h, k)

En esta sección, escribirás y graficarás la ecuación de una parábola con vértice en $(h, k)$ y encontrarás el foco, la directriz y el vértice.

Tu tarea para la casa es encontrar el foco de la parábola $(x+4)^2 = -12(y-5)$ . Tú dices que el foco es $(-4, 5)$ . Banu dice que el foco es $(0, -3)$ . Carlos, por su parte, dice que el foco es $(-4, 2)$ . ¿Quién de ustedes está en lo correcto?

Orientación

En el capítulo de Funciones Cuadráticas aprendiste que las parábolas no siempre tienen el vértice en $(0, 0)$ . En esta sección, trabajaremos con parábolas cuyo vértice es $(h, k)$ , y aprenderemos cómo encontrar el foco, la directriz y a graficar.

Recuerda que de la sección anterior aprendimos que la ecuación de una parábola es $x^2=4py$ o $y^2=4px$ y el vértice se encuentra en el origen. En el capítulo de Funciones Cuadráticas , aprendimos que la forma de vértice de una parábola es $y=a(x-h)^2+k$ . Combinyo ambos, podemos encontrar la forma de vértice para las cónicas.

$y&=a(x-h)^2+k \ y \ x^2=4py && \text{Solve the first for} \ (x-h)^2. \\\(x-h)^2&=\frac{1}{a}(y-k) && \text{From} \ \#13 \ \text{in the previous concept, we found that} \ 4p=\frac{1}{a}. \\\(x-h)^2&=4p(y-k)$

Si la parábola es horizontal, entonces la ecuación será $(y-k)^2=4p(x-h)$ . Observa que aunque la orientación ha cambiado, los valores $h$ y $k$ permanecen con los valores $x$ e $y$ respectivamente.

Encontrar el foco y la directriz es un poco más complicado. Recurre a la tabla (de la sección anterior) para ayudarte a encontrar estos valores.

Observa que la manera mediante la cual encontramos el foco y la directriz no cambia, sea $p$ positivo o negativo.

Ejemplo A

Analiza la ecuación $(y-1)^2=8(x+3)$ . Encuentra el vértice, el eje de simetría, el foco y la directriz. Luego, determina si la función se abre hacia arriba, hacia abajo, o hacia los lados.

Solución: Primero, ya que $y$ está al cuadrado, sabemos que la parábola se abrirá hacia uno de los lados. Podemos concluir que la parábola se abrirá hacia la derecha ya que 8 es positivo, lo que significa que $p$ es positivo. Luego, encuentra el vértice. Usyo la ecuación general, $(y-k)^2=4p(x-h)$ ,obtenemos que el vértice es $(-3, 1)$ y el eje de simetría es $y = 1$ . Al poner $4p=8$ , obtenemos que $p = 2$ . Al sumar $p$ al valor $x$ -del vértice, obtenemos el foco, $(-1, 1)$ . Al restarle $p$ al valor $x$ -del vértice, obtenemos la directriz, $x = -5$ .

Ejemplo B

Grafica la parábola del Ejemplo A. Traza el vértice, el eje de simetría, el foco y la directriz.

Solución: Primero, marca todos los valores fundamentales que encontramos en el Ejemplo 1. Luego, determina un conjunto de puntos simétricos que estén en la parábola para asegurarte de que la curva es correcta. Si $x = 5$ , entonces $y$ puede ser -7 o 9. Esto significa que ambos puntos $(5, -7)$ y $(5, 9)$ están en la parábola.

Es importante resaltar que las parábolas con una orientación horizontal no son funciones, ya que no pasan por la prueba de la recta vertical.

Ejemplo C

El vértice de una parábola es $(-2, 4)$ y la directriz $y = 7$ . Encuentra la ecuación de la parábola.

Solución: Primero, determinemos la orientación de esta parábola. Ya que la directriz es horizontal, sabemos que la parábola se abrirá hacia arriba o hacia abajo (véase la tabla/imágenes anteriores). Sabemos también que la directriz está sobre el vértice, haciendo que la parábola se abra hacia abajo y $p$ será negativo (traza esto en un plano $x-y$ si tienes dudas).

Para encontrar $p$ , podemos usar el vértice, el punto $(h, k)$ y la ecuación de una directriz horizontal, $y = k - p$ .

$7&=4-p \\\3&=-p && \text{Remember}, \ p \ \text{is negative because of the downward orientation of the parabola}. \\\-3&=p$

Ahora, usyo la forma general $(x-h)^2=4p(y-k)$ , podemos encontrar la ecuación de esta parábola.

$(x-(-2))^2&=4(-3)(y-4) \\\(x+2)^2&=-12(y-4)$

Revisión del Problema Introductorio Esta parábola es de forma $(x-h)^2 = 4p(y-k)$ . En la tabla vista anteriormente en esta misma sección, podemos observar que el foco de una parábola de esta forma es $(h, k + p)$ . Por lo tanto, ahora debemos encontrar h , k , y p .

Si comparamos $(x+4)^2 = -12(y-5)$ con $(x-h)^2 = 4p(y-k)$ , observamos que:

1. $4 = -h$ o $h = -4$

2. $-12 = 4p$ o $p = -3$

3. $5 = k$

De esto podemos concluir que $k + p = 5 + (-3) = 2$ .

Por lo tanto, el foco de la parábola es $(-4, 2)$ y Carlos estaría en lo cierto.

Práctica Guiada

1. Encuentra el vértice, el foco, el eje de simetría y la directriz de $(x+5)^2=2(y+2)$ .

2. Grafica la parábola del paso 1.

3. Encuentra la ecuación de la parábola dado que el vértice es $(-5, -1)$ y el foco $(-8, -1)$ .

Respuestas

1. El vértice es $(-5, -2)$ y la parábola se abre hacia arriba ya que $p$ es positivo y $x$ está al cuadrado. $4p = 2$ ,lo que hace a $p = 2$ . El foco es $(-5, -2 + 2)$ o $(-5, 0)$ , el eje de simetría es $x = -5$ , y la directriz es $y =-2 - 2$ o $y = -4$ .

3. El vértice es $(-5, -1)$ , por lo tanto $h = -5$ y $k = -1$ . El foco es $(-8, -1)$ , lo que significa que esa parábola será horizontal. Lo sabemos debido a que los $y$ -valores del vértice y el foco son ambos -1. Por lo tanto, $p$ se suma o se resta a $h$ .

$(h+p,k) \rightarrow (-8,-1)$ podemos inferir que $h+p=-8 \rightarrow -5+p=-8$ y $p=-3$

Por lo tanto, la ecuación es $(y-(-1))^2=4(-3)(x-(-5)) \rightarrow (y+1)^2=-12(x+5)$ .

Vocabulario

Forma estándar (de una Parábola): $(x-h)^2=4p(y-k)$ o $(y-k)^2=4p(x-h)$ donde $(h, k)$ es el vértice.

Práctica

Encuentra el vértice, el foco, el eje de simetría y la directriz de las parábolas a continuación:

$(x+1)^2=-3(y-6)$
$(x-3)^2=y-7$
$(y+2)^2=8(x+1)$
$y^2=-10(x-3)$
$(x+6)^2=4(y+8)$
$(y-5)^2=- \frac{1}{2}x$
Grafica la parábola del ejercicio #1.
Grafica la parábola del ejercicio #2.
Grafica la parábola del ejercicio #4.
Grafica la parábola del ejercicio #5.

Encuentra la ecuación de la parábola dado el vértice y el foco o la directriz.

vértice: $(2, -1)$ , foco: $(2, -4)$
vértice: $(-3, 6)$ , directriz: $x = 2$
vértice: $(6, 10)$ , directriz: $y = 9.5$
Desafío foco: $(-1, -2)$ , directriz: $x = 3$
Extensión Reescribe la ecuación de la parábola, $x^2-8x+2y+22=0$ , de forma estándar completyo el cuadrado. Luego, encuentra el vértice (Para repasar, véase la sección Completación del Cuadrado cuyo $a = 1$ )

Prev Next