Circunferencias con Centro en el Origen

En esta sección, encontrarás el radio y graficarás una circunferencia con centro en el origen.

Dibujas un círculo cuyo centro está en el origen. Mides el diámetro de la circunferencia y resulta ser de 32 unidades. ¿Acaso el punto $(14, 8)$ se encuentra en el círculo?

Orientación

Hasta ahora, la única referencia que tenías sobre los círculos era de la geometría. Un círculo es el conjunto de puntos que son equidistantes (el radio ) de un punto dado (el centro ). A diámetro es un segmento de línea que pasa a por el centro de la circunferencia y cuyos límites terminan en los bordes de la circunferencia .

Ahora, tomaremos la circunferencia y la colocaremos en el plano $x-y$ (plano cartesiano) para ver si nos es posible encontrar la ecuación. En esta sección, colocaremos el centro de la circunferencia en el origen.

Estudio: Encontrar la Ecuación de una Circunferencia

1. En un papel cuadriculado, dibuja un plano $x-y$ Con la ayuda de un compás, dibuja la circunferencia que tenga su centro en el origen y un radio de 5. Encuentra el punto $(3, 4)$ en la circunferencia y dibuja un triángulo usyo el radio como la hipotenusa.

2. Usyo el largo de ambos lados del triángulo ubicado a la derecha, demuestra que el Teorema de Pitágoras está en lo correcto.

3. Ahora, en vez de usar $(3, 4)$ , cambia el punto a $(x, y)$ para que así represente a cualquier punto de la circunferencia. Usar $r$ para representar el radio, reescribe el Teorema de Pitágoras.

La ecuación de una circunferencia , con centro en el origen es $x^2+y^2=r^2$ , donde $r$ es el radio y $(x, y)$ es cualquier punto en la circunferencia.

Ejemplo A

Encuentra el radio de $x^2+y^2=16$ y grafica.

Solución: Para encontrar el radio, podemos decir que $16=r^2$ , lo que resulta en $r = 4$ . $r$ no es -4 ya que es la distancia y las distancias siempre son positivas. Para graficar la circunferencia, comienza en el origen y luego cuenta 4 unidades hacia afuera en cada dirección; finalmente, conecta los puntos.

Ejemplo B

Encuentra la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y que pasa por la coordenada $(-7, -7)$ .

Solución: Usyo la ecuación de la circunferencia, obtenemos: $(-7)^2+(-7)^2=r^2$ . Resuelve para encontrar $r^2$ .

$(-7)^2+(-7)^2&=r^2 \\\49+49&=r^2 \\\98&=r^2$

Entonces, la ecuación es $x^2+y^2=98$ . El radio de la circunferencia es $r=\sqrt{98}=7 \sqrt{2}$ .

Ejemplo C

Determina si es que el punto $(9, -11)$ está en la circunferencia $x^2+y^2=225$ .

Solución: Reemplaza el punto por $x$ e $y$ y observa si equivale a 225.

$9^2+(-11)^2&=225 \\\81+121&\overset{?}{=}225 \\\202& \ne 225$

El punto no está en la circunferencia.

Revisión del Problema Introductorio En esta sección, aprendiste que la ecuación de una circunferencia con centro en el origen es $x^2+y^2=r^2$ , donde $r$ es el radio y $(x, y)$ es cualquier punto en la circunferencia.

Con el punto $(14, 8)$ ,tenemos que $x = 14$ e $y = 8$ . Se nos da el diámetro de la circunferencia, pero necesitamos el radio. Recuerda que el radio es la mitad del diámetro, por lo tanto el radio es $\frac{32}{2} = 16$ .

Reemplaza estos valores en la ecuación de la circunferencia. Si ambos lados de la ecuación resultan ser equivalentes, entonces el punto se encuentra en la circunferencia.

$x^2+y^2=r^2\\\14^2 + 8^2 \overset{?}{=} 16^2\\\196 + 64 \overset{?}{=}256\\\260 \ne 256$

Por lo tanto, el punto no está en la circunferencia.

Práctica Guiada

1. Grafica y encuentra el radio de $x^2+y^2=4$ .

2. Encuentra la ecuación de la circunferencia con un radio de $6 \sqrt{5}$ .

3. Encuentra la ecuación de la circunferencia que pasa por $(5, 8)$ .

4. Determina si $(-10, 7)$ se encuentra en la circunferencia $x^2+y^2=149$ .

Respuestas

1. $r=\sqrt{4}=2$

2. Reemplaza $6 \sqrt{5}$ por $r$ en la ecuación $x^2+y^2=r^2$

$x^2+y^2&=\left(6 \sqrt{5}\right)^2 \\\x^2+y^2&=6^2 \cdot \left(\sqrt{5}\right)^2 \\\x^2+y^2&=36 \cdot 5 \\\x^2+y^2&=180$

3. Reemplaza $x$ e $y$ en la ecuación por las coordenadas $(5, 8)$ respectivamente.

$5^2+8^2&=r^2 \\\25+64&=r^2 \\\89&=r^2$

La ecuación es $x^2+y^2=89$

4. Reemplaza por $(-10, 7)$ para comprobar que la ecuación sea válida.

$(-10)^2+7^2&=149 \\\100+49&=149$

Por lo que se puede apreciar, el punto sí está en la circunferencia.

Vocabulario

Circunferencia: Conjunto de puntos que conforman una distancia dada (el radio ) de un punto dado (el centro) .

Diámetro: Segmento de recta que pasa por el centro de la circunferencia y cuyos puntos extremos están en la circunferencia.

Ecuación de una Circunferencia: Si $(x, y)$ está en la circunferencia, entonces $x^2+y^2=r^2$ es su ecuación, donde $r$ es el radio.

Práctica

Grafica las siguientes circunferencias y encuentra el radio.

$x^2+y^2=9$
$x^2+y^2=64$
$x^2+y^2=8$
$x^2+y^2=50$
$2x^2+2y^2=162$
$5x^2+5y^2=150$

Escribe la ecuación de la circunferencia con el radio dado y con su centro en el origen.

14
6
$9 \sqrt{2}$

Escribe la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto dado y que tiene su centro en el origen.

$(7,-24)$
$(2,2)$
$(-9,-10)$

Determina si los siguientes puntos están en la circunferencia, $x^2+y^2=74$ .

$(-8,0)$
$(7,-5)$
$(6,-6)$

Desafío En geometría, aprendiste sobre las rectas tangentes a una circunferencia. Recuerda que la recta tangente toca la circunferencia en un punto el cual se llama punto de tangencia.

La ecuación de una circunferencia es con un punto de tangencia de .
1. Encuentra la pendiente del radio desde el centro hasta el punto $(-3, 1)$ .
2. Encuentra la pendiente perpendicular a (a). Esta es la pendiente de la recta tangente.
3. Utiliza la pendiente de (b) y el punto dado para encontrar la ecuación de la recta tangente.
Repite los pasos del ejercicio 16 para encontrar la ecuación de la recta tangente para $x^2+y^2=34$ con un punto de tangencia de $(3, 5)$ .

Prev Next