Circunferencias con Centro en (h, k)

En esta sección, encontrarás la ecuación y graficarás circunferencias con centro en $(h, k)$ .

Dibujas una circunferencia cuyo centro está en $(-2, -2)$ . Mides el diámetro de la circunferencia y este resulta en 18 unidades. ¿Acaso el punto $(4, 5)$ está en la circunferencia?

Orientación

Cuyo una circunferencia tiene su centro en el origen (como en la última sección), su ecuación es $x^2+y^2=r^2$ . Si reescribimos esta ecuación usyo el centro, esta ecuación tendría esta forma $(x-0)^2+(y-0)^2=r^2$ . Aplicyo esta idea de que cualquier punto sirve como el centro, obtenemos $(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$ , donde $(h, k)$ es el centro.

Ejemplo A

Encuentra el centro y el radio de $(x+1)^2+(y-3)^2=16$ y grafica.

Solución: Usyo la ecuación general de arriba, el centro de la circunferencia sería el punto $(-1, 3)$ y su radio $\sqrt{16}$ o 4. Para graficar la circunferencia, marca el centro y luego cuenta 4 unidades hacia afuera en las cuatro direcciones: arriba, abajo, izquierda y derecha.

Ejemplo B

Encuentra la ecuación de la circunferencia con centro en $(2, 4)$ y de radio 5.

Solución: Reemplaza el centro y el radio en la ecuación y luego simplifica.

$(x-2)^2+(y-4)^2&=5^2 \\\(x-2)^2+(y-4)^2&=25$

Ejemplo C

Encuentra la ecuación de la circunferencia con centro en $(6, -1)$ y con la coordenada $(5, 2)$ en la circunferencia.

Solución: En este ejemplo, no se nos da el radio. Para encontrarlo, debemos usar la fórmula de la distancia, $d=\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2}$ .

$r&=\sqrt{\left(5-6\right)^2+ \left(2- \left(-1\right)\right)^2} \\\&=\sqrt{\left(-1\right)^2+3^2} \\\&=\sqrt{1+9} \\\&=\sqrt{10}$

Por lo tanto, la ecuación de esta circunferencia es $(x-6)^2+(y-(-1))^2=\left(\sqrt{10}\right)^2$ o $(x-6)^2+(y+1)^2=10$ .

Revisión del Problema Introductorio En esta sección, aprendiste que la ecuación de una circunferencia con su centro en otro punto distinto al origen es $(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$ , donde $(h, k)$ es el centro.

Se nos es dado que el centro de la circunferencia es $(-2, -2)$ , por lo tanto $h= -2$ y $k = -2$ . Se nos es dado también el diámetro de la circunferencia, pero necesitamos el radio. Recuerda que el radio es la mitad del diámetro, por lo tanto $r = \frac{18}{2} = 9$ .

Si reemplazamos por estos valores en la ecuación, obtenemos:

$(x-h)^2+(y-k)^2=r^2\\\(x-(-2))^2 + (y - (-2))^2 = 9^2\\\(x + 2)^2 + (y + 2)^2 = 81$

Ahora, para saber si el punto $(4, 5)$ se encuentra en la circunferencia debemos reemplazar 4 por x y 5 por y luego, veamos si la ecuación está es correcta.

$(x + 2)^2 + (y + 2)^2 = 81\\\(4 + 2)^2 + (5 + 2)^2 \overset{?}{=} 81\\\6^2 + 7^2 \overset{?}{=} 81\\\85 \ne 81$

Por lo tanto, el punto no se encuentra en la circunferencia.

Práctica Guiada

1. Grafica $(x+4)^2+(y+3)^2=25$ y encuentra el centro y el radio.

2. Encuentra la ecuación de la circunferencia con centro en $(-8, 3)$ y con el punto $(2, -5)$ en la circunferencia.

3. Los puntos del diámetro de una circunferencia son $(-3, 1)$ y $(9, 6)$ . Encuentra la ecuación.

Respuestas

1. El centro es $(-4, -3)$ y el radio es 5.

2. Usa la fórmula de la distancia para encontrar el radio.

$r&=\sqrt{\left(2- \left(-8\right)\right)^2+ \left(-5-3\right)^2}\\\&=\sqrt{10^2+ \left(-8\right)^2} \\\&=\sqrt{100+64} \\\&=\sqrt{164}$

La ecuación de esta circunferencia es $(x+8)^2+(y-3)^2=164$ .

3. En este problema, no conocemos el centro ni el radio. Podemos encontrar el largo del diámetro usyo la fórmula de la distancia y luego dividirla por 2.

$d&=\sqrt{\left(9- \left(-3\right)\right)^2+ \left(6-1\right)^2} \\\&=\sqrt{12^2+5^2} \qquad \text{The radius is} \ 13 \div 2=\frac{13}{2}. \\\&=\sqrt{144+25} \\\&=\sqrt{169}=13$

Ahora, debemos encontrar el centro. Usa la fórmula del punto medio con los puntos finales del diámetro.

$c&=\left(\frac{-3+9}{2}, \frac{1+6}{2}\right) \\\&=\left(3, \frac{7}{2}\right)$

Por lo tanto, la ecuación es $(x-3)^2+ \left(y- \frac{7}{2}\right)^2=\frac{169}{4}$ .

Vocabulario

Forma Estándar (de una Circunferencia): $(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$ , donde $(h, k)$ es el centro y $r$ es el radio.

Práctica

En el caso de las preguntas 1 a la 4, une cada ecuación con la circunferencia correspondiente en el gráfico.

$(x-8)^2+(y+2)^2=4$
$x^2+(y-6)^2=9$
$(x+2)^2+(y-3)^2=36$
$(x-4)^2+(y+4)^2=25$

Grafica las circunferencias a continuación. Encuentra el centro y el radio.

$(x-2)^2+(y-5)^2=16$
$(x+4)^2+(y+3)^2=18$
$(x+7)^2+(y-1)^2=8$

Encuentra la ecuación de la circunferencia haciendo uso de la información entregada a continuación.

centro: $(-3,-3)$ radio: 7
centro: $(-7,6)$ radio: $\sqrt{15}$
centro: $(8, -1)$ punto en la circunferencia: $(0, 14)$
centro: $(-2, -5)$ punto en la circunferencia: $(3, 2)$
puntos finales del diámetro: $(-4, 1)$ y $(6, 3)$
puntos finales del diámetro: $(5, -8)$ y $(11, 2)$
¿Está el punto $(-9, 12)$ en la circunferencia $(x+5)^2+(y-6)^2=54$ ? ¿Cómo lo sabes?
Desafío Recurriendo a los pasos del ejercicio 16 de la sección anterior, encuentra la ecuación de la recta tangente de la circunferencia con centro en $(3, -4)$ y con el punto de tangencia $(-1, 8)$ .
Extension Reescribe la ecuación de la circunferencia $x^2+y^2+4x-8y+11=0$ en su forma estándar completyo el cuadrado tanto para el término $x$ como para el término $y$ .Luego, Encuentra el centro y el radio.

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