Elipses con Centro en el Origen

En esta sección, analizarás elipses con centro en el origen.

Tu tarea para la casa consiste en dibujar la elipse $16x^2 + 4y^2 = 144$ . ¿Dónde estarán ubicados los focos de tu gráfico?

Orientación

La tercera sección cónica es una elipse. Recuerda que se trata de una circunferencia cuyo un plano atraviesa un cono y aquel plano es paralelo a la base del cono. Una elipse se forma cuyo el plano no atraviesa el cono de forma paralela a la base. Por lo tanto, una circunferencia es una versión más exacta de una elipse.

Según su definición, una elipse es el conjunto de todos los puntos de manera tal que la suma de las distancias entre dos puntos fijos llamados focos , sea constante.

Estudio: Dibujyo una Elipse

En este estudio usaremos la definición para dibujar una elipse.

1. En una hoja de papel cuadriculado dibuja los dos ejes y traza los puntos $(-2, 0)$ y $(2, 0)$ . Estos serán los focos.

2. A partir de la definición podemos concluir que un punto $(x, y)$ se encuentra en una elipse si la suma de sus distancias es siempre constante. En la imagen, $d_1+d_2=r$ y $g_1+g_2=r$ .

3. Determina cuán lejos están los focos el uno del otro. Luego, encuentra $d_1$ y $d_2$ .

4. Determina si el punto $(-2, 3)$ se encuentra en la elipse.

Extensión : Revisa nuestra página web, http://schools.spsd.sk.ca/mountroyal/hoffman/MathC30/Ellipse/Ellipse.MOV para ver una animación de $(x, y)$ moviéndose alrededor de la elipse, lo que demuestra que $d_1+d_2$ se mantiene constante.

En esta sección, el centro de una elipse será $(0, 0)$ . Una elipse puede tener una orientación tanto horizontal como vertical (véase a continuación). Siempre habrá dos focos que se encuentran en el eje mayor . El eje mayor es el más largo de los dos ejes que pasan por el centro de una elipse. En el eje mayor también se ubican los vértices , los cuales son los puntos finales de la elipse y son los puntos que más alejados están el uno del otro en una elipse. El eje más corto que pasa por el centro se llama el eje menor , cuyos puntos finales se llaman co-vértices . El punto medio de ambos ejes es el centro.

Ecuación de una Elipse con Centro en el Origen
$\frac{x^2}{a^2}+ \frac{y^2}{b^2}=1$	HORIZONTAL El eje mayor es el eje $x$ con un largo de $2a$ . El eje menor es el eje $y$ con un largo de $2b$ .
$\frac{x^2}{b^2}+ \frac{y^2}{a^2}=1$	VERTICAL El eje mayor es el eje $y$ con un largo de $2a$ . El eje menor es el eje $x$ con un largo de $2b$ .

Otros Hechos de Importancia

$a$ siempre es mayor que $b$ . Si son iguales, estamos frente a una circunferencia.
" Los focos, vértices y los co-vértices se relacionan a través de una versión del Teorema de Pitágoras: $c^2=a^2-b^2$

Ejemplo A

Encuentra los vértices, los co-vértices y los focos de $\frac{x^2}{64}+ \frac{y^2}{25}=1$ . Luego, grafica la elipse.

Solución: Primero, debemos determinar si la elipse es horizontal o vertical. Debido a que $64 > 25$ , sabemos que la elipse será horizontal. Por lo tanto, $a^2=64$ queda como $a=\sqrt{64}=8$ y $b^2=25$ , queda como $b=\sqrt{25}=5$ . Usyo las imágenes anteriores, los vértices serán $(8, 0)$ y $(-8, 0)$ y los co-vértices serán $(0, 5)$ y $(0, -5)$ .

Para encontrar los focos, debemos usar la ecuación $c^2=a^2-b^2$ y resolver para encontrar $c$ .

$c^2&=64-25=39 \\\c&=\sqrt{39}$

Los focos son $\left(\sqrt{39},0\right)$ y $\left(- \sqrt{39},0\right)$ .

Para graficar la elipse, traza los vértices y los co-vértices, luego conecta los cuatro puntos para crear la curva cerrada.

Ejemplo B

Grafica $49x^2+9y^2=441$ . Identifica los focos.

Solución: Esta ecuación no está en forma estándar. Para reescribirla en su forma estándar, el lado derecho de la ecuación debe ser 1. Divide todo por 441.

$\frac{49x^2}{441}+ \frac{9y^2}{441}&= \frac{441}{441} \\\\frac{x^2}{9}+ \frac{y^2}{49}&=1$

Ahora, podemos ver que esta elipse es vertical, donde $b=3$ y $a=7$ .

Para encontrar los focos, usa $c^2=a^2-b^2$ .

$c^2&=49-9=40 \\\c&=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$

Los focos son $\left(0,2\sqrt{10}\right)$ y $\left(0,-2\sqrt{10}\right)$ .

Ejemplo C

Escribe una ecuación para la elipse usyo las características dadas a continuación. La elipse debe estar centrada en el origen.

a) vértice: $(-6, 0)$ , co-vértice: $(0, 4)$

b) vértice: $(0, 9)$ , foco: $(0, -5)$

Solución: En cada parte, puedes optar por dibujar la elipse para ayudarte con la orientación.

Para la parte a, podemos concluir que $a=6$ y $b=4$ . La elipse es horizontal, ya que el valor más grye, $a$ , es el valor $x$ del vértice. La ecuación es $\frac{x^2}{36}+ \frac{y^2}{16}=1$ .

Para la parte b, sabemos que $a=9$ y $c=5$ también sabemos que la elipse es vertical. Resuelve para encontrar $b$ usyo $c^2=a^2-b^2$

$5^2&=9^2-b^2 \\\25&=81-b^2 \\\b^2&=56 \rightarrow b=2\sqrt{14}$

La ecuación es $\frac{x^2}{56}+ \frac{y^2}{81}=1$

Revisión del Problema Introductorio Esta ecuación no está en forma estándar. Para reescribirla en forma estándar, el lado derecho de la ecuación debe ser 1. Divide todo por 144.

$\frac{16x^2}{144}+ \frac{4y^2}{144}&= \frac{144}{144} \\\\frac{x^2}{9}+ \frac{y^2}{36}&=1$

Ahora, podemos ver que esta elipse es vertical, donde $b=3$ y $a=6$ .

Para encontrar los focos, usa la ecuación $c^2=a^2-b^2$ .

$c^2&=36-9=27 \\\c&=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$

Por lo tanto, los focos son $\left(0,3\sqrt{3}\right)$ y $\left(0,-3\sqrt{3}\right)$ .

Práctica Guiada

1. Encuentra los vértices, los co-vértices y los focos de $\frac{x^2}{4}+ \frac{y^2}{36}=1$ . Luego, grafica la ecuación.

2. Grafica $49x^2+64y^2=3136$ y encuentra los focos.

3. Encuentra la ecuación de la elipse usyo el co-vértice $(0, -7)$ ,el foco $(15, 0)$ y teniendo en cuenta de que la elipse tiene su centro en el origen.

Respuestas

1. Ya que el número mayor está bajo $y^2$ , sabemos que la elipse es vertical. Por lo tanto, $a=6$ y $b^2$ . Usa la ecuación $c^2=a^2-b^2$ para encontrar $c$ .

$c^2&=6^2-2^2=36-4=32 \\\c&=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$

vértices: $(0, 6)$ y $(0, -6)$

co-vértices: $(2, 0)$ y $(-2, 0)$

focos: $\left(0,4\sqrt{2}\right)$ y $\left(0,-4\sqrt{2}\right)$

2. Reescribe $49x^2+64y^2=3136$ en su forma estándar.

$\frac{49x^2}{3136}+ \frac{64y^2}{3136}&=\frac{3136}{3136} \\\\frac{x^2}{64}+ \frac{y^2}{49}&=1$

Esta elipse es horizontal con $a=8$ y $b=7$ . Encuentra $c$ .

$c^2&=64-49=15 \\\c&=\sqrt{15}$

Los focos son $\left(- \sqrt{15},0\right)$ y $\left(\sqrt{15},0\right)$ .

3. Ya que el co-vértice es $(0, -7), b = 7$ y la elipse es horizontal. De los focos sabemos que $c = 15$ . Encuentra $a$ .

$15^2&=a^2-7^2 \\\a^2&=225+49=274 && \text{The equation is} \ \frac{x^2}{274}+ \frac{y^2}{49}=1. \\\a&=\sqrt{274}$

Vocabulario

Ellipse: Conjunto de todos los puntos de manera tal que la suma de las distancias de dos puntos fijos, llamados focos , sea constante.

Eje Mayor: El más largo de los dos ejes que pasan por el centro de una elipse.

Eje Menor: El más corto de los dos ejes que pasan por el centro de una elipse.

Vértices: Puntos finales del eje mayor.

Co-vértices: Puntos finales del eje menor.

Ecuación de una Elipse: Si el centro de una elipse es (0, 0), la ecuación es $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ o $\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1$ .

Práctica

Encuentra los vértices, los co-vértices y los focos de cada elipse a continuación. Luego, grafica.

$\frac{x^2}{9}+ \frac{y^2}{16}=1$
$4x^2+25y^2=100$
$\frac{x^2}{64}+y^2=1$
$81x^2+100y^2=8100$
$\frac{x^2}{49}+ \frac{y^2}{16}=1$
$121x^2+9y^2=1089$

Encuentra la ecuación de la elipse con centro en el origen usyo la información dada.

vértice: $(-3, 0)$ co-vértice: $(0, 1)$
co-vértice: $(7, 0)$ ,eje mayor: 18 unidades
vértice: $(0, 5)$ , eje menor: 4 unidades
vértice: $(0, 6)$ co-vértice: $(-2, 0)$
co-vértice: $(17, 0)$ foco: $(0, 17)$
vértice: $(4, 0)$ foco: $(-3, 0)$
co-vértice: $(-6, 0)$ foco: $(0, 5)$
foco: $(0, -9)$ , eje menor: 16 unidades
Aplicación en la Vida Real Una parte del jardín trasero de la Casa Blanca se llama La Elipse. El eje mayor es 1058 pies y el eje menor es 903 pies. Encuentra la ecuación de la elipse horizontal, asumiendo que tiene su centro en el origen.

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