Elipses con Centro en (h, k)

En esta sección, graficarás y encontrarás la ecuación de las elipses cuyo centro no está en el origen.

Tu tarea consiste en dibujar la elipse $16(x-2)^2+4(y+3)^2=144$ . ¿Cuál es el vértice de tu gráfico y dónde se ubican los focos de la elipse?

Orientación

Al igual que lo que vimos en los conceptos anteriores, una elipse no siempre tiene que tener su centro en el origen. Si el centro es $(h, k)$ la elipse completa cambiará y tendrá $h$ unidades a la izquierda o la derecha y $k$ unidades hacia arriba o hacia abajo. La ecuación se convierte en $\frac{\left(x-h\right)^2}{a^2}+ \frac{\left(y-k\right)^2}{b^2}=1$ . Veremos cómo cambian los vértices, los co-vértices y los focos en el siguiente ejemplo.

Ejemplo A

Grafica $\frac{\left(x-3\right)^2}{16}+ \frac{\left(y+1\right)^2}{4}=1$ . Luego, encuentra los vértices, los co-vértices y los focos.

Solución: Primero, sabemos que esta elipse es horizontal ya que $16 > 4$ . Por lo tanto, el centro es $(3, -1)$ y $a = 4$ y $b = 2$ . Usa esta información para graficar la elipse.

Para graficar la elipse, traza el centro y luego cuenta cuatro unidades hacia los lados y dos unidades hacia arriba y hacia abajo. De esta manera también puedes encontrar los vértices y los co-vértices. Los vértices son $(3 \pm 4,-1)$ o $(7, -1)$ y $(-1, -1)$ . Los co-vértices son $(3,-1 \pm 2)$ o $(3, 1)$ y $(3, -3)$ .

Para encontrar los focos, debemos encontrar $c$ usyo $c^2=a^2-b^2$ .

$c^2&=16-4=12 \\\c&=2\sqrt{3}$

Por lo tanto, Los focos son $\left(3 \pm 2\sqrt{3},-1\right)$ .

De este ejemplo podemos crear fórmulas para encontrar los vértices, los co-vértices y los focos de una elipse con centro en $(h, k)$ . Además, cuyo grafiques una elipse cuyo centro no esté en el origen, asegúrate de trazar el centro.

Orientación	Ecuación	Vértices	Co-Vértices	Focos
Horizontal	$\frac{\left(x-h\right)^2}{a^2}+ \frac{\left(y-k\right)^2}{b^2}=1$	$(h \pm a,k)$	$(h,k \pm b)$	$(h \pm c,k)$
Vertical	$\frac{\left(x-h\right)^2}{b^2}+ \frac{\left(y-k\right)^2}{a^2}=1$	$(h,k \pm a)$	$(h \pm b,k)$	$(h,k \pm c)$

Ejemplo B

Encuentra la ecuación de la elipse con vértices en $(-3, 2)$ y $(7, 2)$ y co-vértice en $(2, -1)$ .

Solución: Estos dos vértices crean un eje mayor horizontal, haciendo la elipse horizontal. Si tienes dudas, traza los puntos en los respectivos ejes. Para encontrar el centro, usa la fórmula del punto medio con los vértices.

$\left(\frac{-3+7}{2}, \frac{2+2}{2}\right)= \left(\frac{4}{2}, \frac{4}{2}\right)=(2,2)$

La distancia de uno de los vértices en relación al centro es $a$ , $\left |7-2 \right \vert=5$ . La distancia del co-vértice en relación al centro es $b$ , $\left |-1-2 \right \vert=3$ . Por lo tanto, la ecuación es $\frac{\left(x-2\right)^2}{5^2}+ \frac{\left(y-2\right)^2}{3^2}=1$ or $\frac{\left(x-2\right)^2}{25}+ \frac{\left(y-2\right)^2}{9}=1$ .

Ejemplo C

Grafica $49(x-5)^2+25(y+2)^2=1225$ y encuentra los focos.

Solución: Primero, debemos transformar esta ecuación a la forma estándar, como es el caso de las ecuaciones anteriores. Para hacer que el lado derecho sea 1, debemos dividir todo por 1225.

$\frac{49\left(x-5\right)^2}{1225}+ \frac{25\left(y+2\right)^2}{1225}&=\frac{1225}{1225} \\\\frac{\left(x-5\right)^2}{25}+ \frac{\left(y+2\right)^2}{49}&=1$

Ahora, sabemos que la elipse será vertical, ya que $25 < 49$ . $a = 7, b = 5$ y el centro es $(5, -2)$ .

Para encontrar los focos, primero es necesario encontrar $c$ usyo $c^2=a^2-b^2$ .

$c^2&=49-25=24 \\\c&=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$

usyo $\left(5,-2 \pm 2\sqrt{6}\right)$ o $(5, -6.9)$ y $(5, 2.9)$ .

Revisión del Problema Introductorio Primero, debemos transformar nuestra ecuación para que su forma sea $\frac{\left(x-h\right)^2}{a^2}+ \frac{\left(y-k\right)^2}{b^2}=1$ . Por ende, dividimos ambos lados por 144.

$\frac{16(x-2)^2}{144} + \frac{4(y+3)^2}{144} = \frac{144}{144}\\\\frac{(x-2)^2}{9} + \frac{(y + 3)^2}{36}$ .

Ahora podemos ver que $h = 2$ y $3 = -k$ o $k = -3$ . Por lo tanto, el origen es $(2, -3)$ .

Ya que $9 < 36$ , sabemos que la elipse es vertical. Para encontrar los focos, usa $c^2=a^2-b^2$ .

$c^2&=36-9=27 \\\c&=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$

Por lo tanto, los focos son $\left(0,3\sqrt{3}\right)$ y $\left(0,-3\sqrt{3}\right)$ .

Práctica Guiada

1. Encuentra los vértices, los co-vértices y los focos de $\frac{\left(x+4\right)^2}{81}+ \frac{\left(y-7\right)^2}{16}=1$ .

2. Grafica $25(x-3)^2+4(y-1)^2=100$ y encuentra los focos.

3.Encuentra la ecuación de la elipse con los co-vértices $(-3, -6)$ y $(5, -6)$ y los focos $(1, -2)$ .

Respuestas

1. El centro es $(-4, 7),a=\sqrt{81}=9$ y $b=\sqrt{16}=4$ , lo cual hace a la elipse horizontal. Los vértices son $(-4 \pm 9,7)$ o $(-13, 7)$ y $(5, 7)$ . Los co-vértices son $(-4,7 \pm 4)$ o $(-4, 3)$ y $(-4, 11)$ . Usa la fórmula $c^2=a^2-b^2$ para encontrar $c$ .

$c^2&=81-16=65\\\c&=\sqrt{65}$

Los focos son $\left(-4- \sqrt{65},7\right)$ y $\left(-4+ \sqrt{65},7\right)$ .

2. Cambia esta ecuación a su forma estándar para poder graficar.

$\frac{25\left(x-3\right)^2}{100}+ \frac{4\left(y-1\right)^2}{100}&=\frac{100}{100} \\\\frac{\left(x-3\right)^2}{4}+ \frac{\left(y-1\right)^2}{25}&=1$

centro: $(3, 1), b = 2, a = 5$

Encuentra los focos.

$c^2&=25-4=21 \\\c&=\sqrt{21}$

Los focos son $\left(3,1+ \sqrt{21}\right)$ y $\left(3,1- \sqrt{21}\right)$ .

3. Los co-vértices $(-3, -6)$ y $(5, -6)$ son los puntos finales del eje menor. Tiene $\left |-3-5\right \vert=8$ unidades de largo, lo cual resulta en $b = 4$ . El punto medio entre los co-vértices es el centro.

$\left(\frac{-3+5}{2},-6\right)=\left(\frac{2}{2},-6\right)=(1,-6)$

El foco es $(1, -1)$ y la distancia entre este y el centro es de 4 unidades o, también, $c$ . Encuentra $a$ .

$16&=a^2-16 \\\32&=a^2 \\\a&=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$

La ecuación de la elipse es $\frac{\left(x-1\right)^2}{16}+ \frac{\left(y+6\right)^2}{32}=1$ .

Vocabulario

Forma Estándar (de una Elipse): $\frac{\left(x-h\right)^2}{a^2}+ \frac{\left(y-k\right)^2}{b^2}=1$ o $\frac{\left(x-h\right)^2}{b^2}+ \frac{\left(y-k\right)^2}{a^2}=1$ donde $(h, k)$ es el centro.

Práctica

Encuentra el centro, los vértices, los co-vértices y los focos de cada elipse a continuación.

$\frac{\left(x+5\right)^2}{25}+ \frac{\left(y+1\right)^2}{36}=1$
$(x+2)^2+16(y-6)^2=16$
$\frac{\left(x-2\right)^2}{9}+\frac{\left(y-3\right)^2}{49}=1$
$25x^2+64(y-6)^2=1600$
$(x-8)^2+ \frac{\left(y-4\right)^2}{9}=1$
$81(x+4)^2+4(y+5)^2=324$
Gráfica de la elipse del ejercicio #1.
Gráfica de la elipse del ejercicio #2.
Gráfica de la elipse del ejercicio #4.
Gráfica de la elipse del ejercicio #5.

Recurriendo a la información anterior, encuentra la ecuación de cada elipse.

vértices: $(-2, -3)$ y $(8, -3)$ co-vértice: $(3, -5)$
vértices: $(5, 6)$ y $(5, -12)$ foco: $(5, -7)$
co-vértices: $(0, 4)$ y $(14, 4)$ foco: $(7, 1)$
focos: $(-11, -4)$ y $(1, -4)$ vértice: $(-12, -4)$
Extensión Reescribe la ecuación de la elipse , $36x^2+25y^2-72x+200y-464=0$ de forma estándar completyo el cuadrado para los términos $x$ e $y$ .

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