Graficar Parábolas con Centro en el Origen.

En esta sección, analizarás hipérbolas cuyo centro está en el origen.

Tu tarea para la casa consiste en graficar la hipérbola $9y^2 - 4x^2 = 36$ . ¿Cuáles son las asíntotas y los focos de tu gráfico?

Orientación

Según lo visto en el capítulo de Funciones Racionales sabemos que el gráfico resultante de una función racional es una hipérbola con dos ramas. . Una hipérbola también se considera una sección cónica. Para crear una hipérbola, debes atravesar dos conos invertidos con un plano, de manera tal que el plano sea perpendicular a la base de los conos.

Según la definición cónica, una hipérbola es el conjunto de todos los puntos de manera tal que la diferencia de las distancias desde los focos sea constante.

Según la imagen, cualquier punto, $(x, y)$ en una hipérbola tiene la propiedad, $d_1-d_2=P$ , donde $P$ is a constant.

Compara esto con la elipse, donde $d_1+d_2=P$ y la ecuación es $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}=1$ o $\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2}=1$ .

Entonces, en el caso de una hipérbola, la ecuación será $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}=1$ or $\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2}=1$ . Observa que, en el caso de que la orientación de la hipérbola sea vertical, el término $y^2$ va primero. Al igual que en el caso de la elipse, hay dos vértices , en la hipérbola. Aquí, estos son dos puntos en el gráfico los cuales están más cercanos el uno del otro. La recta que pasa por los vértices y los focos se llama eje transversal . Su punto medio es el centro de la hipérbola. En esta sección, el centro será el origen. Siempre habrá dos ramas para cualquier hipérbola y dos asíntotas.

Ejemplo A

Grafica $\frac{x^2}{64} - \frac{y^2}{25}=1$ Luego, Encuentra los vértices, los focos y las asíntotas.

Solución: Primero, esta hipérbola tiene un eje transversal horizontal ya que el término $x^2$ está primero. Además, cuyo se trata de hipérbolas, los términos $a$ y $b$ mantienen su lugar, pero los términos $x$ e $y$ cambian. $a$ no siempre es mayor que $b$ .

Por lo tanto, $a=\sqrt{64}=8$ y $b=\sqrt{25}=5$ . Para graficar esta hipérbola cuenta 8 unidades hacia la izquierda y hacia la derecha desde el centro y 5 unidades más hacia abajo y hacia arriba para formar un rectángulo. Las diagonales de este rectángulo son las asíntotas.

Dibuja la hipérbola con los vértices en el eje transversal y el rectángulo. Traza las ramas con tal que estas estén cerca de las asíntotas, pero que no las toquen.

Los vértices son $(\pm 8, 0)$ y las asíntotas son $y=\pm \frac{5}{8}x$ (véase las imágenes anteriores). Para encontrar los focos, debemos usar el Teorema de Pitágoras $c^2=a^2+b^2$ ya que los focos están más alejados del centro que los vértices.

$c^2 &= 64+25=89 \\\c &= \sqrt{89}$

Los focos son $\left(\pm \sqrt{89}, 0 \right)$ .

Ejemplo B

Grafica $36y^2 - 9x^2=324$ . Señala cuales son los focos.

Solución: Esta ecuación no está en forma estándar. Para reescribirla en su forma estándar, el lado derecho de la ecuación debe ser 1. Divide todo por 324.

$\frac{36y^2}{324} - \frac{9x^2}{324} &= \frac{324}{324} \\\\frac{y^2}{9} - \frac{x^2}{36} &=1$

Ahora, podemos observar que esta hipérbola es vertical, donde $a=3$ y $b=6$ . Dibuja el rectángulo, las asíntotas y traza los vértices en el eje $y$

Para encontrar los focos, usa la fórmula $c^2=a^2+b^2$ .

$c^2 &= 36+9=45 \\\c &= \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$

Los focos son $\left(0, 3 \sqrt{5}\right)$ y $\left(0, -3 \sqrt{5}\right)$ .

Ejemplo C

Grafica $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{4}=1$ . Identifica las asíntotas.

Solución: Esta hipérbola será horizontal, ya que el término $x$ está primero. $a$ y $b$ serán ambos 2 ya que $\sqrt{4}=2$ . Dibuja el cuadrado y las diagonales para formar las asíntotas.

Las asíntotas son $y= \pm \frac{2}{2}x$ o $y=x$ e $y=-x$ .

Importante: Las asíntotas y el cuadrado no son parte de la función. Se incluyen ya que facilitan el trabajo de graficar la hipérbola.

Además, cuyo se grafican hipérbolas, estamos haciendo un bosquejo de cada rama. No hicimos una tabla de valores para encontrar ciertos puntos y luego conectarlos. Puedes optar por hacer la tabla, pero usar el cuadrado o rectángulo con las asíntotas tiene como resultado un gráfico bastante certero y mucho más simple.

Revisión del Problema Introductorio Primero debemos transformar la ecuación a la forma $\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2}=1$ , por lo tanto divide por 36.

$9y^2 - 4x^2 = 36\\\\frac{9y^2}{36} - \frac{4x^2}{36} = \frac{36}{36}\\\\frac{y^2}{4} - \frac{x^2}{9} = 1$ .

Ahora podemos observar que $a^2 = 4$ y $b^2 = 9$ , por lo tanto $a = 2$ y $b = 3$ . Ya que el término y -está primero, la hipérbola tiene una orientación vertical. Por lo tanto, las asíntotas $y = -\frac{a}{b}x$ e $y = \frac{a}{b}x$ .

Reemplazyo por a y b ,obtenemos $y = -\frac{2}{3}x$ y $y = \frac{2}{3}x$ .

Finalmente, para encontrar los focos, usamos la fórmula $c^2=a^2+b^2$ .

$c^2 &= 4+9=13 \\\c &= \sqrt{13}$

Los focos son $\left(0, \sqrt{13}\right)$ y $\left(0, -\sqrt{13}\right)$ .

Práctica Guiada

1. Encuentra los vértices, los focos y las asíntotas de $y^2-\frac{x^2}{25}=1$ .

2. Grafica el paso 1.

3. Grafica $9x^2-49y^2=411$ .

Respuestas

1. Primero, escribe la ecuación de la siguiente manera: $\frac{y^2}{1} - \frac{x^2}{25}=1$ . Sabemos que el eje transversal es vertical ya que el término $y$ esta primero, lo cual resulta en $a=1$ y $b=5$ . Por lo tanto, los vértices son $(0, -1)$ y $(0, 1)$ . Las asíntotas son $y= \frac{1}{5}x$ y $y= -\frac{1}{5}x$ . Finalmente, encuentra los focos usyo la fórmula $c^2=a^2+b^2$ .

$c^2 &= 1+25=26 \\\c &= \sqrt{26}$

Los focos son $\left(0, -\sqrt{26}\right)$ y $\left(0, \sqrt{26}\right)$ .

3. Reescribe la ecuación de manera tal que el lado derecho sea igual a 1. Divide todo por 441.

$\frac{9x^2}{441} - \frac{49y^2}{441} &= \frac{441}{441} \\\\frac{x^2}{49} - \frac{y^2}{9} &= 1$

$a=9$ y $b=6$ con un eje transversal horizontal.

Vocabulario

Hipérbola: Conjunto de todos los puntos de manera tal que la diferencia de las distancias entre dos puntos fijos, llamadas focos , sean constantes.

Rama: Mitad de una hipérbola.

Eje Transversal: Eje que pasa por los vértices de la hipérbola.

Vertices: Puntos más próximos en las ramas de una hipérbola.

Asíntotas: Las rectas límite de una hipérbola.

Ecuación de una Hipérbola: Cuyo una hipérbola tiene su centro en el origen, la ecuación es $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ o $\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$

Práctica

Encuentra los vértices, las asíntotas y los focos de cada una de las hipérbolas a continuación.

$\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} =1$
$4y^2-25x^2=100$
$\frac{x^2}{81} - \frac{y^2}{64} =1$
$x^2-y^2=16$
$\frac{y^2}{49} - \frac{x^2}{25} =1$
$121y^2-9x^2=1089$
$y^2-x^2=1$
$\frac{x^2}{64} - \frac{y^2}{4} =1$
$\frac{y^2}{4} - \frac{x^2}{64} =1$
Grafica #1.
Grafica #2.
Grafica #8.
Grafica #9.
Respuesta de Desarrollo Compara las hipérbolas de los ejercicios 8 y 9. ¿En qué se asemejan? ¿En qué se diferencian? ¿Qué sabes sobre las asíntotas y los focos?
Razonamiento Analítico Compara las ecuaciones $\frac{x^2}{25} - \frac{y^2}{9} =1$ y $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} =1$ . Grafícalas en los mismos ejes y encuentra sus focos.

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