Escribe la Ecuación de una Hipérbola cuyo Centro Está en el Origen

En esta sección, escribirás la ecuación de una hipérbola dado los focos, los vértices y las asíntotas.

Se te pide que resuelvas un acertijo. Te dan la siguiente información para ayudarte.

1. Soy una hipérbola con centro en el origen.

2. Mi vértice es $(0, -2)$ .

3. Uno de mis focos es $(0, -3)$ .

¿Cuál es mi ecuación?

Orientación

En la sección anterior, aprendiste a graficar hipérbolas dada la ecuación. En este concepto, en cambio, realizaremos el trabajo a la inversa y encontraremos la ecuación dada cierta información. En esta sección, la hipérbola solo tendrá su centro en el origen.

Ejemplo A

Encuentra la ecuación de la hipérbola con centro en el origen y con un vértice de $(-4, 0)$ y un foco de $(-6, 0)$ .

Solución: Debido a que el vértice y el foco están en el eje $x$ sabemos que el eje transversal es horizontal. Por lo tanto, la ecuación será $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}=1$ . Sabemos del vértice que $a=4$ y $c=6$ . Resuelve para encontrar $b^2$ usyo la fórmula $c^2=a^2+b^2$ .

$6^2 &= 4^2+b^2 \\\36 &= 16+b^2 \rightarrow b^2=20$

La ecuación de la hipérbola es $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{20}=1$ .

Ejemplo B

Encuentra la ecuación de la hipérbola cuyo centro está en el origen, teniendo en cuenta que una asíntota es $y=\frac{2}{3}x$ y el es vértice $(0, 12)$ .

Solución: y el es vértice $a=12$ , lo que significa que el eje transversal es vertical y que la ecuación general de la asíntota es $y=\frac{a}{b}x$ . Por lo tanto $\frac{2}{3} = \frac{12}{b}$ , lo que resulta en $b=18$ . Por lo tanto, la ecuación de la hipérbola es $\frac{y^2}{144} - \frac{x^2}{324}=1$ .

En este ejemplo, se muestra que la pendiente de la asíntota se puede simplificar, lo que no siempre resulta ser $\frac{a}{b}$ , sino $c \left(\frac{m}{n}\right) = \frac{a}{b}$ , donde $c$ es una constante por la cual podemos simplificar la fracción.

Ejemplo C

Encuentra la ecuación de dos hipérbolas con una asíntota de $y= -\frac{5}{9}x$ .

Solución: Esta asíntota puede ser de una hipérbola vertical como de una horizontal. $-\frac{5}{9}$ puede ser también una fracción simplificada de $\frac{a}{b}$ , como vimos en el ejemplo anterior. Por ejemplo, la asíntota $y=-\frac{10}{18}x$ simplificada queda como $y=-\frac{5}{9}x$ .

Si la hipérbola es horizontal, entonces la ecuación de la asíntota es $y=-\frac{b}{a}x$ lo que resultaría en $a=9$ y $b=5$ y la ecuación sería $\frac{x^2}{81} - \frac{y^2}{25}=1$ . Si la hipérbola es vertical, entonces la asíntota es $y=-\frac{a}{b}x$ y $a=5$ y $b=9$ . La ecuación sería $\frac{y^2}{25} - \frac{x^2}{81}=1$ . Si la pendiente se simplifica a partir de una fracción más grye, $\frac{x^2}{324} - \frac{y^2}{100}=1$ o $\frac{y^2}{100} - \frac{x^2}{324}=1$ serían también respuestas positivas.

Hay una infinidad de ecuaciones hiperbólicas con esta asíntota.

Revisión del Problema Introductorio Ya que el vértice y el foco están en el eje $y$ sabemos que el eje transversal es vertical. Por lo tanto, la ecuación será $\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2}=1$ .

Según el vértice y el foco, sabemos que $a=2$ y $c=3$ . Resuelve para encontrar $b^2$ usyo la fórmula $c^2=a^2+b^2$ .

$3^2 &= 2^2+b^2 \\\9 &= 4+b^2 \rightarrow b^2=5$

Por lo tanto, la ecuación de la hipérbola será $\frac{y^2}{4} - \frac{x^2}{5}=1$ .

Práctica Guiada

Encuentra la ecuación de las hipérbolas con centro en el origen utilizyo la información dada.

1. vértice: $(0, 2)$

foco: $(0, 5)$

2. asíntota: $y=x$

vértice: $(4, 0)$

3. Encuentra las ecuaciones de dos hipérbolas, cuyo centro es el origen, con valores $a$ y $b$ distintos y una asíntota de $y=\frac{3}{4}x$ .

Respuestas

1. El vértice está en el eje $y$ por lo tanto esta hipérbola es vertical con valor $a=2$ . $c=5$ ,por lo tanto debemos encontrar $b^2$ .

$c^2 &= a^2+b^2 \\\25 &= 4+b^2 \rightarrow b^2=21$

La ecuación de la hipérbola es $\frac{y^2}{4} - \frac{x^2}{21}=1$ .

2. Al reescribir la pendiente de $y=x$ , obtenemos que $y=\frac{1}{1}x$ . Por lo tanto, sabemos que $a$ y $b$ están en razón de 1:1. Debido a que el vértice es $(4, 0)$ , sabemos que $a=4$ y que la hipérbola es horizontal. Ya que $a$ y $b$ están en razón de 1:1, $b$ también tiene que ser igual a 4. La ecuación de la hipérbola es $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{16}=1$ .

3. Una posibilidad es que $b=3$ y $a=4$ lo cual resulta en la ecuación $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9}=1$ . Una segunda posibilidad puede ser que $a$ y $b$ son múltiplos de la razón 4:3. Por lo tanto $a=8$ y $b=6$ , lo cual resulta en la ecuación $\frac{x^2}{64} - \frac{y^2}{36}=1$ .

Práctica

Encuentra la ecuación de la hipérbola, cuyo centro está en el origen, teniendo en cuenta la información dada a continuación.

vértice: $(-2, 0)$ , foco: $(-5, 0)$
vértice: $(4, 0)$ , foco: $(7, 0)$
$b=8$ , foco: $(-15, 0)$
vértice: $(-6, 0)$ , asíntota: $y=\frac{4}{3}x$
$b=6$ , foco: $(0, 11)$
vértice: $(0, 5)$ , asíntota: $y=x$
asíntota: $y=-\frac{1}{2}x$ , vértice: $(6, 0)$
asíntota: $y=3x$ , $\ b=9$ , eje transversal vertical
vértice: $(0, 8)$ , foco: $\left(0, 6 \sqrt{2}\right)$
Encuentra la ecuación de dos hipérbolas de manera tal que sus valores $a$ y $b$ sean iguales. La ecuación de una de las asíntotas es $y=\frac{4}{5}x$ , y la hipérbola tiene su centro en el origen.
Encuentra la ecuación de dos hipérbolas de manera tal que sus valores $a$ y $b$ sean diferentes Ambas hipérbolas son horizontales, la ecuación de una de las asíntotas es $y=-\frac{2}{3}x$ , y el centro está en el origen.
12. Encuentra la ecuación de dos hipérbolas de manera tal que sus valores $a$ y $b$ sean diferentes . Ambas hipérbolas son verticales, la ecuación de una de las asíntotas $y=6x$ y el centro está en el origen.
13. Encuentra la ecuación de dos hipérbolas de manera tal que sus valores $a$ y $b$ sean iguales. La ecuación de una de las asíntotas es $y=-\frac{10}{7}x$ , y el centro está en el origen.

Encuentra la ecuación de las hipérbolas a continuación.

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