Hipérbolas con Centro en (h, k)

En esta sección, graficarás y encontrarás la ecuación de las hipérbolas cuyo centro está en el punto (h, k).

Tu tarea para la casa es graficar la hipérbola $9(y + 2)^2 - 4(x -3)^2 = 36$ . ¿Cuáles son los vértices de tu gráfico?

Orientación

Según lo visto en las secciones anteriores, una hipérbola no siempre tiene que tener su centro en el origen. Si el centro es $(h, k)$ la hipérbola se trasladará $h$ unidades hacia la izquierda o derecha y $k$ unidades hacia arriba o abajo. La ecuación con este centro en particular tiene la ecuación $\frac{(x-h)^2}{a^2} - \frac{(y-k)^2}{b^2}=1$ . A continuación verás cómo cambian los vértices, los co-vértices y los focos en el siguiente ejemplo.

Ejemplo A

Grafica $\frac{(x-2)^2}{16} - \frac{(y+1)^2}{9}=1$ . Luego, encuentra los vértices, los focos y las asíntotas.

Solución: Primero, sabemos que esta hipérbola es horizontal ya que el término $x$ está primero. Por lo tanto, el centro es $(2, -1)$ y $a=4$ y $b=3$ . Usa esta información para graficar una hipérbola.

Para realizar el gráfico, traza el centro y luego cuenta 4 unidades hacia los lados y 3 unidades hacia arriba y abajo. Dibuja el rectángulo y las asíntotas.

De esta manera también puedes encontrar los vértices. Los vértices son $(2 \pm 4, -1)$ o $(6, -1)$ y $(-2, -1)$ .

Para encontrar los focos, debemos encontrar $c$ usando la fórmula $c^2=a^2+b^2$ .

$c^2 &= 16+9=25 \\\c &= 5$

Por lo tanto, los focos son $(2 \pm 5, -1)$ o $(7, -1)$ y $(-3, -1)$ .

Para encontrar las asíntotas, debemos realizar un simple procedimiento para encontrar las intersecciones $y$ Sabemos que la pendiente es $\pm \frac{b}{a}$ o $\pm \frac{3}{4}$ y que pasan por el centro. Escribe cada asíntota en su forma punto-pendiente usando el centro y casa pendiente.

$y-1=\frac{3}{4}(x+2)$ y $y-1=-\frac{3}{4}(x+2)$

Al simplificar cada ecuación, las asíntotas son $y=\frac{3}{4}x-\frac{5}{2}$ y $y=-\frac{3}{4}x+\frac{1}{2}$ .

De este ejemplo podemos crear fórmulas para encontrar los vértices, los focos y las asíntotas de una hipérbola con centro en $(h, k)$ . Además, cuando se grafica una hipérbola cuyo centro no está en el origen, asegúrate de trazar el centro.

Orientación	Ecuación	Vértices	Focos	Asíntotas
Horizontal	$\frac{(x-h)^2}{a^2} - \frac{(y-k)^2}{b^2} =1$	$(h \pm a, k)$	$(h \pm c, k)$	$y-k= \pm \frac{b}{a}(x-h)$
Vertical	$\frac{(y-k)^2}{a^2} + \frac{(x-h)^2}{b^2} =1$	$(h, k \pm a)$	$(h, k \pm c)$	$y-k= \pm \frac{a}{b}(x-h)$

Ejemplo B

Encuentra la ecuación de la hipérbola con los vértices $(-3, 2)$ y $(7, 2)$ y los focos $(-5, 2)$ .

Solución: Estos dos vértices forman un eje transversal horizontal, lo que resulta en una hipérbola horizontal. Si tienes dudas, traza la información en un plano. Para encontrar el centro, aplica la fórmula del punto medio a los vértices.

$\left(\frac{-3+7}{2}, \frac{2+2}{2}\right) = \left(\frac{4}{2}, \frac{4}{2}\right)=(2, 2)$

La distancia de uno de los vértices al centro es $a$ , $|7 - 2|=5$ . La distancia desde el centro hasta el respectivo foco es $c$ , $|-5 -2|=7$ . Usa $a$ y $c$ para resolver y obtener $b$ .

$7^2 &= 5^2+b^2 \\\b^2 &= 24 \rightarrow b=2 \sqrt{6}$

Por lo tanto, la ecuación es $\frac{(x-2)^2}{25} - \frac{(y-2)^2}{24}=1$ .

Ejemplo C

Grafica $49(y-3)^2-25(x+4)^2=1225$ y encuentra los focos.

Solución: Primero, debemos transformar la ecuación a la forma estándar, al igual que las ecuaciones anteriores. Para que el lado derecho de la ecuación sea 1, debemos dividir todo por 1225.

$\frac{49(y-3)^2}{1225} - \frac{25(x+4)^2}{1225} &= \frac{1225}{1225} \\\\frac{(y-3)^2}{25} - \frac{(x+4)^2}{49} &=1$

Ahora, sabemos que la hipérbola será vertical ya que el término $y$ está primero $a=5$ , $b=7$ y el centro es $(-4, 3)$ .

Para encontrar los focos, primero debemos encontrar $c$ usando la fórmula $c^2=a^2+b^2$ .

$c^2 &= 49+25=74 \\\c &= \sqrt{74}$

Los focos son $\left(-4, 3 \pm \sqrt{74}\right)$ o $(-4, 11.6)$ y $(-4, -5.6)$ .

Revisión del Problema Introductorio Primero debemos transformar la ecuación a la forma estándar $\frac{(y-k)^2}{a^2} + \frac{(x-h)^2}{b^2} =1$ , por lo tanto, dividimos por 36.

$9(y + 2)^2 - 4(x -3)^2 = 36\\\\frac {9(y + 2)^2}{36} - \frac{4(x -3)^2}{36} = \frac{36}{36}\\\\frac {(y + 2)^2}{4} - \frac{(x -3)^2}{9} = 1$ .

Ya que el término y está primero, se observa que los vértices son $(h, k \pm a)$ $(3, -2 \pm 2)$ . Esto es, $(3, 0)$ y $(3, -4)$

Práctica Guiada

1. Encuentra el centro, los vértices, los focos y las asíntotas de $\frac{(y-1)^2}{81} - \frac{(x+5)^2}{16}=1$ .

2. Grafica $25(x-3)^2-4(y-1)^2=100$ y encuentra los focos.

3. Encuentra la ecuación de la hipérbola con los vértices $(-6, -3)$ y $(-6, 5)$ y el foco $(-6, 7)$ .

Respuestas

1. El centro es $(-5, 1)$ , $a=\sqrt{81}=9$ y $b=\sqrt{16}=4$ , la hipérbola es horizontal ya que el término $y$ está primero. Los vértices son $\left(-5, 1 \pm 9\right)$ o $(-5, 10)$ y $(-5, -8)$ . Usa la fórmula $c^2=a^2+b^2$ para encontrar $c$ .

$c^2 &= 81+16=97 \\\c &= \sqrt{97}$

Los focos son $\left(-5, 1+ \sqrt{97}\right)$ y $\left(-5, 1- \sqrt{97}\right)$ .

Las asíntotas son $y-1= \pm \frac{9}{4}(x+5)$ o $y= \frac{9}{4}x + 12 \frac{1}{4}$ y $y= -\frac{9}{4}x - 10 \frac{1}{4}$ .

2. Transforma esta ecuación a su forma estándar para luego graficar.

$\frac{25(x-3)^2}{100} - \frac{4(y-1)^2}{100} &= \frac{100}{100} \\\\frac{(x-3)^2}{4} - \frac{(y-1)^2}{25} &=1$

centro: $(3, 1)$ , $a=2$ , $b=5$

Encuentra los focos.

$c^2 &= 25+4 = 29 \\\c &= \sqrt{29}$

Los focos son $\left(3, 1+ \sqrt{29}\right)$ y $\left(3, 1- \sqrt{29}\right)$ .

3. Los vértices son $(-6, -3)$ y $(-6, 5)$ y el foco es $(-6, 7)$ . El eje transversal será vertical ya que el valor $x$ no cambia en ninguno de estos tres puntos. La distancia entre los vértices es $|-3 -5|=8$ unidades, lo que resulta en $a=4$ . El punto medio entre los vértices es el centro.

$\left(-6, \frac{-3+5}{2}\right) = \left(-6, \frac{2}{2}\right) = (-6,1)$

El foco es $(-6, 7)$ y la distancia entre este y el centro es de 6 unidades o $c$ . Encuentra $b$ .

$36 &= b^2+16 \\\20 &= b^2 \\\b &= \sqrt{20}=2\sqrt{5}$

La ecuación de la hipérbola es $\frac{(y-1)^2}{16} - \frac{(x+6)^2}{20}=1$ .

Vocabulario

Forma Estándar (de una hipérbola): $\frac{(x-h)^2}{a^2} - \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1$ or $\frac{(y-h)^2}{a^2} - \frac{(x-k)^2}{b^2} = 1$ donde $(h, k)$ es el centro.

Práctica

Encuentra el centro, los vértices, los focos y las asíntotas de cada una de las hipérbolas a continuación.

$\frac{(x+5)^2}{25} - \frac{(y+1)^2}{36}=1$
$(y+2)^2-16(x-6)^2=16$
$\frac{(y-2)^2}{9} - \frac{(x-3)^2}{49}=1$
$25x^2-64(y-6)^2=1600$
$(x-8)^2 - \frac{(y-4)^2}{9}=1$
$81(y+4)^2-4(x+5)^2=324$
Grafica la hipérbola del ejercicio #1.
Grafica la hipérbola del ejercicio #2.
Grafica la hipérbola del ejercicio #5.
Grafica la hipérbola del ejercicio #6.

Recurriendo a la siguiente información, encuentra la ecuación de cada hipérbola.

vértices: $(-2, -3)$ y $(8, -3)$ $b=7$
vértices: $(5, 6)$ y $(5, -12)$ foco: $(5, -15)$
asíntota: $y+3=\frac{4}{9}(x+1)$ eje transversal horizontal
focos: $(-11, -4)$ y $(1, -4)$ vértice: $(-8, -4)$
Extensión Reescribe la ecuación de la hipérbola $49x^2-4y^2+490x-16y+1013=0$ en forma estándar, completando el cuadrado para los términos $x$ e $y$ .

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