Ecuación General de las Cónicas

En esta sección, cambiarás la ecuación general de segundo grado a la forma estándar de una parábola, una elipse, una circunferencia o una hipérbola.

Tú y tus amigos juegan a Nombrar las Secciones Cónicas. Sacas una carta con la ecuación $x^2 - 4x - 8y + 12 = 0$ . ¿Qué tipo de sección cónica es representada por esta ecuación?

Orientación

La ecuación de toda sección cónica se puede escribir de forma $Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$ , la cual es la ecuación general de segundo grado en términos de $x$ e $y$ . Para todas las secciones cónicas que hemos estudiado en este capítulo $B=0$ ya que los ejes son horizontales o verticales. Cuando una cónica está escrita de esta forma, debemos completar el cuadrado para transformarla a la forma estándar.

Forma Estándar de las Secciones Cónicas con Centro en $(h, k)$

	Eje Horizontal	Eje Vertical
Circunferencia	$(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$
Parabola	$(y-k)^2=4p(x-h)$	$(x-h)^2=4p(y-k)$
Ellipse	$\frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2}=1$	$\frac{(x-h)^2}{b^2} + \frac{(y-k)^2}{a^2}=1$
Hipérbola	$\frac{(x-h)^2}{a^2} - \frac{(y-k)^2}{b^2}=1$	$\frac{(y-k)^2}{a^2} + \frac{(x-h)^2}{b^2}=1$

Ejemplo A

Determina el tipo de sección cónica que corresponde a la ecuación $x^2+y^2-6x+10y-6=0$ y reescribe la ecuación en forma estándar.

Solución: Comienza por reescribir la ecuación con los términos $x$ e $y$ uno al lado del otro y traslada la constante al otro lado de la ecuación.

$x^2+y^2-6x+10y-6=0 \\\(x^2-6x)+(y^2+10y)=6$

Ahora, completa el cuadrado para los términos $x$ e $y$ Para completar el cuadrado, debes sumar $\left(\frac{b}{2}\right)^2$ a ambos lados de la ecuación.

$(x^2-6x+ {\color{blue}9}) + (y^2+10y+ {\color{red}25})&= 6+ {\color{blue}9}+ {\color{red}25} \\\(x-3)^2+(y+5)^2 &= 40$

Al observar las formas estándar de las ecuaciones anteriores, podemos observar que se trata de una circunferencia. $A$ y $C$ son equivalentes en la ecuación general de segundo grado, lo cual nos da una pista sobre el tipo de sección cónica de la ecuación.

Ejemplo B

Determina el tipo de sección cónica de $25x^2-20y^2-100x+240y+320=0$ y reescribe la ecuación en forma estándar.

Solución: Usando la misma lógica del ejemplo anterior, podemos concluir que esta cónica no es una circunferencia. Tampoco es una parábola debido a que tiene ambos términos $x^2$ e $y^2$ Reescribe la ecuación agrupando los términos $x$ los términos $y$ y trasladando la constante hacia el otro lado. Luego, calcula el MCD de cada conjunto de términos.

$25x^2-20y^2-100x+240y+320 &= 0 \\\25x^2-100x-20y^2+240y &= -320 \\\25(x^2-4x)-20(y^2-12y)&= -320$

Ahora, completa el cuadrado para los términos $x$ e $y$ Cuando se determina qué debe "completar el cuadra" para cada agrupación, no olvides multiplicar la constante por el número que está afuera del paréntesis antes de sumarlo al otro lado.

$25(x^2-4x)-20(y^2-12y) &=-320 \\\25(x^2-4x+ {\color{blue}4})-20(y^2-12y+ {\color{red}36}) &=-320+ {\color{blue}100}+ {\color{red}720} \\\\frac{25(x-2)^2}{500} - \frac{20(y-6)^2}{500} &= \frac{500}{500} \\\\frac{(x-2)^2}{20} - \frac{(y-6)^2}{25} &=1$

Ahora podemos observar que esta sección cónica es una hipérbola. Si volvemos a la ecuación original, podemos ver que $C$ es negativo. Para que una ecuación general de segundo grado represente una hipérbola, $A$ o $C$ (solo uno) debe ser negativo. Si tanto $A$ como $C$ son positivos o negativos y no son equivalentes, la ecuación representa una elipse.

Ejemplo C

Escribe la ecuación de la sección cónica a continuación.

Solución: Con solo observar el gráfico, sabemos que esta es una elipse horizontal. La ecuación estándar para esta elipse es $\frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2}=1$ . El centro es $(-3, 6)$ , el eje mayor es de 14 unidades de largo, lo que resulta en $a=7$ , y el eje menor es de 6 unidades de largo, lo que resulta en $b=3$ . Por lo tanto, la ecuación es $\frac{(x-(-3))^2}{7^2} + \frac{(y-6)^2}{3^2}=1$ o $\frac{(x+3)^2}{49} + \frac{(y-6)^2}{4}=1$ .

Revisión del Problema Introductorio Comienza por reescribir la ecuación con los términos $x$ e $y$ uno al lado del otro.

$x^2-4x = 8y -12$

Ahora, completa el cuadrado para los términos $x$ Para completar el cuadrado, debemos sumar 4 a ambos lados de la ecuación.

$(x^2-4x+ {\color{blue}4}) = 8y -12 + {\color{blue}4}\\\(x-2)^2 = 8y-8$

Finalmente, calcula el MCM del lado derecho de la ecuación.

$(x-2)^2 = 8(y-1)$

Al observar la forma estándar anterior, podemos ver que se trata de una parábola.

Práctica Guiada

Determina la sección cónica y reescribe cada ecuación en forma estándar.

1. $9x^2+16y^2+18x-135=0$

2. $y^2-3x-8y+10=0$

3. Escribe la ecuación de la cónica a continuación.

Respuestas

1. Completa el cuadrado. Elipse.

$9x^2+16y^2+18x-135 &=0 \\\9x^2+18x+16y^2 &=135 \\\9(x^2+2x+ {\color{red}1})+16y^2 &=135+ {\color{red}9} \\\9(x+1)^2+16y^2 &=144 \\\\frac{(x+1)^2}{16} + \frac{y^2}{9} &=1$

2. Completa el cuadrado. Parábola.

$y^2-3x-8y+10 &=0 \\\y^2-8y-3x &=-10 \\\y^2-8y+ {\color{red}16} &=3x-10+{\color{red}16} \\\(y-4)^2 &=3x+6 \\\(y-4)^2 &=3(x+2)$

3. Se trata de una circunferencia ya que la distancia alrededor del centro es la misma. El centro es $(0, -4)$ y el radio es 5. La ecuación es $x^2+(y+4)^2=25$ .

Vocabulario

Ecuación General de Segundo Grado: $Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$ . para las secciones cónicas de este capítulo. $B=0$ .

Práctica

1. En la ecuación general cónica ¿Por qué B tiene que ser igual a cero para poder crear una cónica?

Encuentra la ecuación de cada una de las secciones cónicas a continuación.

Reescribe cada ecuación en forma estándar, clasifica la cónica y encuentra el centro. Si la cónica es una parábola, encuentra el vértice.

$3x^2+3y^2-6x+9y-14=0$
$6x^2+12x-y+15=0$
$x^2+2y^2+4x+2y-27=0$
$x^2-y^2+3x-2y-43=0$
$y^2-8x-6y+49=0$
$-64x^2+225y^2-256x-3150y-3631=0$

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