Clasificación de Secciones Cónicas

En esta sección, aprenderás a cómo clasificar secciones cónicas haciendo uso del discriminante.

Tú y tus amigos están jugando "Nombra la Sección Cónica". Uno de tus amigos saca una carta con la ecuación $x^2 + 3xy = -5y^2 -10$ escrita en ella. ¿Qué tipo de sección cónica está representada por esta ecuación?

Orientación

Otro modo de clasificar una sección cónica cuando se encuentra en forma general es usar el discriminante, como en la Fórmula cuadrática. El discriminante es lo que está debajo del radical o $b^2-4ac$ , y podemos usarlo para determinar si la cónica es una parábola, una circunferencia, una elipse o una hipérbola. Si la forma general de la ecuación es $Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$ , donde $B=0$ , entonces el discriminante será $B^2-4AC$ .

Usa la siguiente tabla.

$B^2-4AC=0$ y $A=0$ or $C=0$	Parábola
$B^2-4AC<0$ y $A=C$	Circunferencia
$B^2-4AC<0$ y $A \ne C$	Ellipse
$B^2-4AC>0$	Hipérbola

Ejemplo A

Usa el discriminante para determinar el tipo de cónica: $x^2-4y^2+5x-8y+16=0$ .

Solución: $A=1$ , $B=0$ , y $C=-4$

$0^2-4(1)(-4)=16$ es una hipérbola.

Ejemplo B

Usa el discriminante para determinar el tipo de cónica: $3x^2+3y^2-9x-12y-20=0$

Solución: $A=3$ , $B=0$ , $C=3$

$0^2-4(3)(3)=-36$ Debido a que $A=C$ y el discriminante es menor que cero, esta cónica es una circunferencia.

Ejemplo C

Usa el discriminante para determinar el tipo de cónica. Luego, cambia la ecuación a la forma estándar para comprobar tu respuesta. Si es una parábola, encuentra el centro y el vértice. $x^2+y^2-6x+14y-86=0$

Solución: $A=1, \ B=0, \ C=1$ Es una circunferencia.

$(x^2-6x+9)+(y^2+14y+49)&=86+49+9 \\\(x-3)^2+(y+7)^2 &=144$

El centro es $(3, \ -7)$ .

Revisión del Problema Introductorio Primero, debemos reescribir la ecuación en forma estándar.

$x^2 + 3xy = -5y^2 -10x^2 + 3xy + 5y^2 + 10 = 0$

Ahora, podemos usar el discriminante para encontrar el tipo de sección cónica representada por la ecuación.

$A=1, \ B=3, \ C=5$

$3^2-4(1)(5)=-11$ Esta ecuación representa una elipse, debido a que $A \ne C$ y el discriminante son menores que cero.

Práctica Guiada

Usa el discriminante para determinar el tipo de sección cónica.

1. $2x^2+5y^2-8x+25y+115=0$

2. $5y^2-9x-10y-14=0$

3. Usa el discriminante para determinar el tipo de cónica. Luego, cambia la ecuación a la forma estándar para comprobar tu respuesta. Si se trata de una parábola, encuentra el centro y el vértice.

$-4x^2+3y^2-8x+24y+32=0$

Respuestas

1. $0^2-4(2)(5)=-40$ , es una elipse.

2. $0^2-4(0)(5)=0$ , es una parábola.

3. $0^2-4(-4)(3)=48$ , es una hipérbola. Al transformarla a la forma estándar, obtenemos:

$(-4x^2-8x)+(3y^2+24y) &=-32 \\\-4(x^2+2x+1)+3(y^2+8y+16) &=-32+48-4 \\\-4(x+1)^2+3(y+4)^2 &=12 \\\\frac{-(x+1)^2}{3}+\frac{(y+4)^2}{4} &=1$

Generalmente, escribimos el término negativo primero, por lo que la ecuación sería $\frac{(y+4)^2}{4} - \frac{(x+1)^2}{3}=1$ . El centro es $(-1, -4)$ .

Vocabulario

Discriminante: Cuando se hace referencia a la ecuación general de segundo grado o $Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$ , el discriminante es $B^2-4AC$ y determina el tipo de cónica que la ecuación representa.

Práctica

Usa el discriminante para determinar el tipo de cónica que cada ecuación representa.

$2x^2+2y^2+16x-8y+25=0$
$x^2-y^2-2x+5y-12=0$
$6x^2+y^2-12x+7y+35=0$
$3x^2-15x+9y-18=0$
$10y^2+6x-40y+253=0$
$4x^2+4y^2+32x+48y+465=0$

Une cada ecuación con su gráfico correspondiente.

$x^2+10x+4y+41=0$
$4y^2+x+56y+188=0$
$x^2+y^2+10x-14y+65=0$
$25x^2+y^2-200x-10y+400=0$

Usa el discriminante para determinar el tipo de cónica. Luego, cambia la ecuación la forma estándar para comprobar tu respuesta. Si se trata de una parábola, encuentra el centro o el vértice.

$x^2-12x+6y+66=0$
$x^2+y^2+2x+2y-2=0$
$x^2-y^2-10x-10y-10=0$
$y^2-10x+8y+46=0$
Encuentra el Área de una Elipse Grafica y encuentra el área.
1. Luego, grafica $\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{25}=1$ y $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{36}=1$ on the same axes.
2. ¿Acaso el área de estas elipses es la misma? ¿Por qué? o, en ese caso, ¿Por qué no?
3. Si la ecuación del área de una circunferencia es $A=\pi r^2$ , ¿Cuál crees que es el área de una elipse? Usa $a$ y $b$ como en la forma estándar $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}=1$ .
4. Encuentra las áreas de las elipses de la parte a. Las áreas ¿Son mayores o menores que el área de la circunferencia? ¿Por qué? O, en ese caso ¿Por qué no?

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