Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales, Cuadráticas y Cónicas

En esta sección, resolverás sistemas de ecuaciones con rectas, parábolas, circunferencias o elipses graficando o sustituyendo.

Se te presenta la elipse $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1$ y la recta $y = \frac{3}{2}x + 3$ . Lo que buscas es determinar, sin graficar, en qué punto(s), de ser así, las dos ecuaciones se intersecan. ¿Acaso la recta y la elipse se intersecan? De ser así, ¿En qué punto(s) lo hacen?

Orientación

En el capítulo Resolución de Sistemas de Ecuaciones resolvimos un sistema compuesto por dos líneas o tres planos, recurriendo al gráfico, la sustitución y combinaciones lineales. En esta sección, añadiremos circunferencias, parábolas y elipses a los sistemas de ecuaciones. Debido a que tanto $x$ como $y$ pueden estar elevados al cuadrado en estas ecuaciones, la mayoría de las veces habrá más de una respuesta.

Ejemplo A

Estima las soluciones para el sistema de ecuaciones a continuación.

Solución: Estas dos elipses se intersecan en 4 lugares. Los puntos parecieran ser los siguientes:

$(0, 7)$ , $(4.7, 5.5)$ , $(4.9, 4.3)$ , y $(-1, 2.9)$

Ten en cuenta que estos son solo estimaciones. En el próximo ejemplo, te mostraremos como encontrar las respuestas exactas.

Ejemplo B

Resuelve $x^2+y^2 &=25 \\\3x+2y &=6$

Solución: Resolvamos este sistema graficando. La primera ecuación es una circunferencia con centro en el origen y un radio de 5. La segunda ecuación es una recta. En la forma pendiente-intersección, esto es $y=-\frac{3}{2}x+3$ .

Ahora, debemos estimar donde se intersecan la recta y la circunferencia. En el segundo cuadrante, pareciera ser $(-1.2, 4.8)$ y en el cuarto cuadrante $(4, -3)$ . Estas son las respuestas en base a nuestras estimaciones.

Para encontrar el valor exacto de estos puntos de intersección, debemos usar la sustitución. Sustituye $y$ en la ecuación lineal por la ecuación de la circunferencia y luego resuelve para encontrar $x$ .

$x^2+\left(-\frac{3}{2}x+3\right)^2 &=25 \\\x^2+\frac{9}{4}x^2-9x+9 &=25 \\\\frac{13}{4}x^2-9x-16 &=0 \\\13x^2-36x-64 &=0$

Usa la Fórmula Cuadrática:

$x &= \frac{36 \pm \sqrt{36^2-4(13)(-64)}}{2(13)} \\\&= \frac{36 \pm \sqrt{4624}}{26} \\\&= \frac{36 \pm 68}{26}$

Las soluciones de $x$ , son $\frac{36+68}{26}=4$ y $\frac{36-68}{26}=-1\frac{3}{13}$ . Sustituye los valores de x en la ecuación por cualquiera de estos valores para encontrar $y$ .

$y=-\frac{3}{2}(4)+3=-3$ y $y=-\frac{3}{2} \left(-\frac{16}{13}\right)+3=4 \frac{11}{13}$

Los puntos son $(4, -3)$ y $\left(-1 \frac{3}{13}, 4 \frac{11}{13}\right)$ .

La técnica aplicada en este ejemplo es la manera recomendada para que abordes cada problema. Primero, grafica el sistema para que tengas una idea de cuantas soluciones hay y dónde están ubicadas. Luego, usa la sustitución para resolver y llegar así a las respuestas exactas.

Ejemplo C

Resuelve $& \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9}=1 \\\& y^2=-\frac{4}{3}(x-6)$

Solución: Al graficar dos ecuaciones, obtenemos los siguientes cuatro puntos de intersección. La segunda ecuación está resuelta para encontrar $y^2$ , así que sustituye aquello en la primera ecuación.

$\frac{x^2}{16} - \frac{4(x-6)}{3 \cdot 9} &= 1 \\\\frac{x^2}{16} - \frac{4x-24}{27} &=1 \\\27x^2-16(4x-24) &=432 \\\27x^2-64x-48 &=0$

Ahora, usa la Fórmula Cuadrática para resolver y obtener $x$ .

$x &= \frac{64 \pm \sqrt{(-64)^2-4(27)(-48)}}{2(27)} \\\&= \frac{64 \pm \sqrt{9280}}{54} \\\&= \frac{32 \pm 4 \sqrt{145}}{27}$

Al ingresar esto en la calculadora, obtenemos $x = \frac{32+4 \sqrt{145}}{27} \approx 2.97$ y $x = \frac{32-4 \sqrt{145}}{27} \approx -0.6$ . Al observar el gráfico, sabemos que habrán dos valores de $y$ distintos para cada valor de $x$ para que hayan cuatro puntos de intersección. Usando estas estimaciones, resuelve para obtener $y$ . Puedes escoger cualquiera de las dos ecuaciones.

$y^2 &= -\frac{4}{3}(2.97-6) \qquad \qquad \quad \quad y^2= -\frac{4}{3}(-0.6-6) \\\y^2 &= 4.04 \qquad \qquad \qquad y \qquad \ y^2= 8.8 \\\y &= \pm 2.01 \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \ \ y= \pm 2.97$

Los puntos son $(2.97, 2.01)$ , $(2.97, -2.01)$ , $(-0.6, 2.97)$ , y $(-0.6, -2.97)$ .

Revisión del Problema Introductorio Primero, debemos deshacernos de las fracciones en la ecuación de la elipse para así facilitar el trabajo. Para hacer esto, debemos multiplicar por el MCM.

$\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1\\\36 \frac{x^2}{4} + 36 \frac{y^2}{9} = 36 \cdot 1\\\9x^2 + 4y^2 = 36$

Ahora, podemos sustituir y por la ecuación de la recta $y = \frac{3}{2}x + 3$ y resolver para encontrar x .

$9x^2 + 4(\frac{3}{2}x + 3)^2 = 36\\\9x^2 + 4(\frac{9}{4}x^2 + 9x + 9) = 36\\\9x^2 + 9x^2 + 36x + 36 = 36\\\18x^2 + 36x = 0\\\18x(x + 2) = 0\\\$

Por lo tanto, $x = 0$ o $x = -2$

Finalmente, podemos sustituir estos valores x en la ecuación de la recta para encontrar los valores correspondientes de y .

$y = \frac{3}{2}(0) + 3 = 3$

$y = \frac{3}{2}(-2) + 3 = 0$

Por lo tanto, la recta interseca a la elipse en los puntos $(0, 3)$ y $(-2, 0)$ .

Práctica Guiada

1. Estima las soluciones de los sistemas a continuación.

Encuentra las soluciones de los sistemas a continuación.

2. $x^2+(y-1)^2 &= 36 \\\x^2 &= 2(y+9)$

3. $x^2 &=y+8 \\\4x+5y &= 12$

Respuestas

1. $(3, -0.1)$ y $(4.5, -6)$

2. Es una circunferencia y una parábola que se intersecan en cuatro lugares diferentes.

Usando la sustitución por $x^2$ , obtenemos:

$2(y+9)+(y-1)^2 &=36 \\\2y+18+y^2-2y+1 &=36 \\\y^2 &= 17 \\\y &= \pm \sqrt{17} \approx \pm 4.12$

Los valores correspondientes de $x$ son:

$x^2 &= 2(4.12+9) \qquad \qquad \quad x^2= 2(-4.12+9) \\\x^2 &= 26.25 \qquad \qquad y \qquad x^2= 9.76 \\\x &= \pm 5.12 \qquad \qquad \qquad \quad \ \ x= \pm 3.12$

Las soluciones son: $(4.12, 5.12)$ , $(4.12, -5.12)$ , $(-4.12, 3.12)$ y $(-4.12, -3.12)$ .

3. Esta es una recta y una parábola que se intersecan en dos puntos.

Resuelve por $y$ la primera ecuación y sustituye en la segunda.

$4x+5(x^2-8) &=12 \\\4x+5x^2-40 &=12 \\\5x^2+4x-52 &=0 \\\x &= \frac{-4 \pm \sqrt{4^2-4(5)(-52)}}{2(5)} \\\x &= \frac{-4 \pm \sqrt{1056}}{10} \approx 3.65,2.85$

Usando la primera ecuación, $y=3.65^2-8=5.32$ y $y = 2.85^2-8=0.12$ . Los puntos son $(3.65, 5.32)$ y $(2.85, 0.12)$ .

Práctica

Estima las soluciones de cada sistema de ecuaciones a continuación.

Resuelve cada uno de los sistemas de ecuaciones a continuación.

$5x^2+3y &= 17 \\\x-y &= 1$

$x^2+y^2 &= 7.5 \\\x+2y &= 6$

$x^2 &= y+4 \\\\frac{x^2}{4}+(y+2)^2 &= 1$

$(x-1)^2+(y-3)^2 &= 25 \\\x^2 &= -2(y-10)$

$x^2+y^2 &=16 \\\4x-3y &= 18$

$(x+4)^2+(y+1)^2 &= 36 \\\\frac{(x+1)^2}{4} + \frac{(y-2)^2}{25} &= 1$

¿De cuántas formas distintas se pueden intersecar una circunferencia con una parábola? Dibuja cada posibilidad.
¿De cuántas formas distintas se pueden intersecar una circunferencia y una elipse? Dibuja cada posibilidad.
Crea un sistema de dos circunferencias sin solución. ¿Cómo luciría el gráfico?

Desafío Encuentra las soluciones del sistema

$x^2+y^2 &= r^2 \\\y &= mx$

Responde en términos de $m$ y $r$ .

Desafío Determina si el siguiente sistema de tres ecuaciones tiene una solución en común.

$x^2+3y^2 &= 16 \\\3x^2+y^2 &= 16 \\\y &= x$