Encontrar el siguiente término en una secuencia

En esta sección aprenderás acerca de los patrones en una secuencia , u ordenar los valores numéricos.

Dejas caer una pelota de goma desde una altura de 48 pulgadas. Cada vez que rebota, su altura disminuye. La siguiente secuencia muestra la altura por cada rebote. ¿Qué altura alcanzará la pelota en su quinto rebote?

48, 36, 27, 20.25,...

Orientación

Cuando observes una secuencia de números, considera las siguientes posibilidades.

Puede haber una diferencia común (el mismo valor se suma o se resta) para progresar desde cada término al siguiente.

Ejemplo: $5, 8, 11, 14, \ldots$ (añade 3)

Puede haber una razón (factor por el que cada término se multiplica) para progresar desde un término al siguiente.

Ejemplo: $9, 3, 1$ , $\frac{1}{3} \ldots$ $\left ( \right .$ multiplica por $\left . \frac{1}{3} \right )$

Si los términos son fracciones, quizás, haya un patrón en el numerador y un patrón diferente en los denominadores.

Ejemplo: $\frac{1}{9}, \frac{3}{8}, \frac{5}{7}, \frac{7}{6}, \ldots$ (numerador (+2), denominador (-1))

Si los términos aumentan rápidamente, quizás la diferencia entre los valores de los términos se incrementa por algún factor constante.

Ejemplo: $2, 5, 9, 14, \ldots$ (añade 3, añade 4, añade 5, ...)

Los términos pueden representar un tipo particular de número como los números primos, cuadrados perfectos, cubos, etc.

Ejemplo: $2, 3, 5, 7, \ldots$ (números primos)

Considera si cada término es el resultado de realizar una operación en los dos términos anteriores.

Ejemplo: $2, 5, 7, 12, 19, \ldots$ (añade los dos términos previos)

Considera la posibilidad de que el valor esté conectado con el término numérico:

Ejemplo: $0, 2, 6, 12, \ldots$

En este ejemplo $(0 \times 1) = 0, (1 \times 2) = 2, (2 \times 3) = 6, (3 \times 4) = 12, \ldots$

Esta lista no pretende abarcar todos los posibles patrones que se podrían presentar en una secuencia, pero es una buena herramienta para empezar cuando se buscan patrones.

Ejemplo A

Encuentra los dos términos que siguen en la secuencia: $160, 80, 40, 20, \underline{\;\;\;\;\;\;\;}, \underline{\;\;\;\;\;\;\;}$

Solución: Cada término es el resultado de la multiplicación del término anterior por $\frac{1}{2}$ . Por lo tanto, los siguientes términos son:

$\frac{1}{2}(20)=10$ y $\frac{1}{2}(10)=5$

Ejemplo B

Encuentra los dos términos que siguen en la secuencia: $0, 3, 7, 12, 18, \underline{\;\;\;\;\;\;\;}, \underline{\;\;\;\;\;\;\;}$

Solución: La diferencia entre los dos primeros términos $(3-0)$ es 3, la diferencia entre el segundo y tercer término $(7-3)$ es 4, la diferencia entre el tercer y cuarto término $(12-7)$ es 5 y la diferencia entre el cuarto y quinto término $(18-12)$ es 6. Cada vez añadimos uno más para obtener el término siguiente. La siguiente diferencia será 7, entonces $18+7=25$ para el sexto término. . Para obtener el séptimo término, añadimos 8, entonces $25+8=33$ .

Ejemplo C

Encuentra los dos términos que siguen en la secuencia: $9, 5, 4, 1, 3, \underline{\;\;\;\;\;\;\;}, \underline{\;\;\;\;\;\;\;}$

Solución: Esta secuencia requiere que observemos a los dos términos anteriores. Para obtener el tercer término, se sustrae el segundo término del primero: $9-5=4$ . Para obtener el cuarto término, se sustrae el tercer término del segundo: $5-4=1$ . Similarmente: $4-1=3$ . Ahora, para obtener los siguientes términos, continúa el patrón:

$1-3=-2$ y $3-(-2)=5$

Revisión del Problema Introductorio Cada término sucesivo en la secuencia es el resultado de la multiplicación del término anterior por $\frac{3}{4}$ . Por lo tanto, el siguiente término, el quinto, es:

$\frac{3}{4}(20.25)=15.1875$ .

Por lo tanto, la pelota alcanza una altura de 15,1875 pulgadas en su quinto rebote.

Práctica Guiada

Encuentra los dos términos que siguen en cada una de las siguientes secuencias:

1. $-5, -1, 3, 7, \underline{\;\;\;\;\;\;\;}, \underline{\;\;\;\;\;\;\;}$

2. $\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{7}{9}, \frac{5}{6} \underline{\;\;\;\;\;\;\;}, \underline{\;\;\;\;\;\;\;}$

3. $1, 4, 9, 16, \underline{\;\;\;\;\;\;\;}, \underline{\;\;\;\;\;\;\;}$

Respuestas

1. Cada término es el término anterior más 4. Por lo tanto, los dos términos siguientes son 11 y 15.

2. El patrón en este ejercicio está un tanto oculto porque las fracciones se han reducido. Si “desreducimos” el segundo y cuarto término obtenemos la secuencia: $\frac{1}{3}$ , $\frac{4}{6}$ , $\frac{7}{9}$ , $\frac{10}{12}, \underline{\;\;\;\;\;\;\;}, \underline{\;\;\;\;\;\;\;}$ . Ahora el patrón que se puede observar es que el numerador y el denominador se incrementan en 3. Entonces, los 2 siguientes términos son $\frac{13}{15}$ y $\frac{16}{18}$ . Reducir los últimos términos nos entrega la respuesta final de $\frac{13}{15}$ y $\frac{8}{9}$ .

3. Esta secuencia es el conjunto de cuadrados perfectos o el término numérico elevado al cuadrado. Por lo tanto el $5^{th}$ y $6^{th}$ término serán $5^2=25$ y $6^2=36$ .

Vocabulario

Secuencia: Una disposición de números que sigue un patrón.

Diferencia común: El valor constante que se añade repetidamente a cada término en una secuencia aritmética para obtener el siguiente término.

Razón: El valor constante que se multiplica por cada término en una secuencia geométrica para obtener el siguiente término.

Práctica

Encuentra los tres siguientes términos en cada secuencia.

$15, 21, 27, 33, \underline{\;\;\;\;\;\;\;}, \underline{\;\;\;\;\;\;\;}, \underline{\;\;\;\;\;\;\;}$
$-4, 12, -36, 108, \underline{\;\;\;\;\;\;\;}, \underline{\;\;\;\;\;\;\;}, \underline{\;\;\;\;\;\;\;}$
$51, 47, 43, 39, \underline{\;\;\;\;\;\;\;}, \underline{\;\;\;\;\;\;\;}, \underline{\;\;\;\;\;\;\;}$
$100, 10, 1, 0.1, \underline{\;\;\;\;\;\;\;}, \underline{\;\;\;\;\;\;\;}, \underline{\;\;\;\;\;\;\;}$
$1, 2, 4, 8, \underline{\;\;\;\;\;\;\;}, \underline{\;\;\;\;\;\;\;}, \underline{\;\;\;\;\;\;\;}$
$\frac{7}{2}, \frac{5}{3}, \frac{3}{4}, \frac{1}{5}, \underline{\;\;\;\;\;\;\;}, \underline{\;\;\;\;\;\;\;}, \underline{\;\;\;\;\;\;\;}$

Encuentra el término que falta en las secuencias.

$1, 4, \underline{\;\;\;\;\;\;\;}, 16, 25, \underline{\;\;\;\;\;\;\;}$
$\frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \underline{\;\;\;\;\;\;\;}, \frac{5}{6}, \underline{\;\;\;\;\;\;\;}$
$0, 2, \underline{\;\;\;\;\;\;\;}, 9, 14,\underline{\;\;\;\;\;\;\;}$
$1, \underline{\;\;\;\;\;\;\;}, 27, 64, 125, \underline{\;\;\;\;\;\;\;}$
$5, \underline{\;\;\;\;\;\;\;}, 11, 17, 28, \underline{\;\;\;\;\;\;\;}, 73$
$3, 8, \underline{\;\;\;\;\;\;\;}, 24, \underline{\;\;\;\;\;\;\;}, 48$
$1, 1, 2, \underline{\;\;\;\;\;\;\;}, 5, \underline{\;\;\;\;\;\;\;}, 13$
¿Tienen los problemas anteriores una diferencia constante? Si es así, ¿Cuáles son y cuál es la constante?
¿Tienen los problemas anteriores una razón? Si es así, ¿Cuáles son y cuál es la razón?