Describir el Patrón y Escribir una Regla Recursiva para una Secuencia

En esta sección aprenderás como reconocer y describir el patrón y cómo escribir una regla recursiva para una secuencia.

En el 2013, los días en los que hubo luna llena tuvieron la siguiente secuencia (siendo 1 de enero el día 1). Escribe una fórmula recursiva para la secuencia.

9, 38, 67, 96, ...

[Fuente: http://www.moongiant.com/Full_Moon_New_Moon_Calendar.php ]

Orientación

Una regla recursiva para una secuencia es una fórmula que nos dice cómo avanzar de un término a otro en una secuencia. Generalmente, la variable $n$ se usa para representar el término numérico. En otras palabras, $n$ toma el valor de 1 (primer término), 2 (segundo término), 3 (tercer término), etc. La variable, $a_n$ representa el $n^{th}$ término y $a_{n-1}$ representa el término que precede a $a_n$ .

Ejemplo de secuencia: $4, 7, 11, 16, \ldots, a_{n-1}, a_n$

En la secuencia anterior, $a_1=4$ , $a_2=7$ , $a_3=11$ y $a_4=16$ .

Ejemplo A

Describe el patrón y escribe una regla recursiva para la secuencia: $9, 11, 13, 15, \ldots$

Solución: Primero necesitamos determinar cuál es el patrón en la secuencia. Si sustraemos cada término del término siguiente a este, veremos que hay una diferencia común de 29. Por lo tanto podemos utilizar $a_{n-1}$ y $a_n$ para escribir una regla recursiva como la siguiente: $a_n=a_{n-1}+29$

Ejemplo B

Escribe una regla recursiva para la secuencia: $3, 9, 27, 81, \ldots$

Solución: En esta secuencia, cada término se multiplica por 3 para obtener el siguiente término. Podemos escribir una regla recursiva: $a_n=3a_{n-1}$

Ejemplo C

Escribe una regla recursiva para la secuencia: $1, 1, 2, 3, 5, 8, \ldots$

Solución: Este es una secuencia especial llamada la secuencia Fibonacci. En esta secuencia, cada término es la suma de los dos términos anteriores. Podemos escribir la regla recursiva para esta secuencia como la siguiente: $a_n=a_{n-2}+a_{n-1}$ .

Revisión del Problema Introductorio Primero necesitamos determinar que patrón está siguiendo la secuencia. Si sustraemos cada término del término siguiente a este, encontramos que hay una diferencia común de 29. Podemos, por lo tanto, usar $a_{n-1}$ y $a_n$ para escribir una regla recursiva como la siguiente: $a_n=a_{n-1}+29$

Práctica Guiada

Escribe las reglas recursivas para las siguientes secuencias.

1. $1, 2, 4, 8, \ldots$

2. $1, -2, -5, -8, \ldots$

3. $1, 2, 4, 7, \ldots$

Respuestas

1. En esta secuencia cada término es el doble del término anterior, entonces la regla recursiva es: $a_n=2a_{n-1}$

2. Esta vez se resta tres cada vez para obtener el término siguiente: $a_n=a_{n-1}-3$ .

3. Este ejercicio es un poco engañoso de expresar. Trata de observar cada término como se muestra a continuación:

$a_1 &=1 \\\a_2 &=a_1+1 \\\a_3 &=a_2+2 \\\a_4 &=a_3+3 \\\& \ \ \vdots \\\a_n &=a_{n-1}+(n-1)$

Vocabulario

Regla Recursiva: Una regla que se puede usar para calcular un término en una secuencia dados el término(s) anterior(es).

Práctica

Describe el patrón y escribe una regla recursiva para las siguientes secuencias.

$\frac{1}{4}, -\frac{1}{2}, 1, -2 \ldots$
$5, 11, 17, 23, \ldots$
$33, 28, 23, 18, \ldots$
$1, 4, 16, 64, \ldots$
$21, 30, 39, 48, \ldots$
$100, 75, 50, 25, \ldots$
$243, 162, 108, 72, \ldots$
$128, 96, 72, 54, \ldots$
$1, 5, 10, 16, 23, \ldots$
$0, 2, 2, 4, 6, \ldots$
$3, 5, 8, 12, \ldots$
$0, 2, 6, 12, \ldots$
$4, 9, 14, 19, \ldots$
$\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5} \ldots$
$4, 5, 9, 14, 23, \ldots$

Prev Next