Usar y Escribir Reglas para Términos Enésimos para Secuencias

En esta sección escribirás la regla para el término $n^{th}$ o regla general, para una secuencia y usarla para encontrar términos.

Compras muebles nuevos sin intereses en cuotas mensuales. El costo total de los muebles es de $4.800. La siguiente secuencia muestra el dinero que todavía debes al inicio de cada mes. ¿Cómo escribirías una regla general para la secuencia?

4800, 4600, 4400, 4200,...

Orientación

En la sección anterior escribimos una regla recursiva para encontrar el siguiente término en una secuencia. Las reglas recursivas nos pueden ayudar para generar múltiples términos secuenciales en una secuencia, pero no son útiles para determinar un único término en particular. Considera la secuencia: $3, 5, 7, \ldots, a_n$ . La regla recursiva para esta secuencia es $a_n=a_{n-1}+2$ . ¿Qué pasaría si queremos encontrar el $100^{th}$ término? La regla recursiva solo nos permite encontrar el término en una secuencia si conocemos el término anterior. Un $n^{th}$ término enésimo o regla general, sin embargo, nos permitirá encontrar el $100^{th}$ término al reemplazar $n$ en la fórmula por 100.

Ejemplo A

Escribe los tres primeros términos, el $15^{th}$ término y el $40^{th}$ término de la secuencia con la regla general: $a_n=n^2-1$ .

Solución: Podemos encontrar cada uno de estos términos reemplazando $n$ con el número de término apropiado:

$a_1 &=(1)^2-1=0 \\\a_2 &=(2)^2-1=3 \\\a_3 &=(3)^2-1=8 \\\a_{15} &=(15)^2-1=224 \\\a_{40} &=(40)^2-1=1599$

Calculadora: Estos términos se pueden encontrar usando una calculadora gráfica. Primero presiona $2^{nd}$ STAT (para obtener el menú List ). Pon el cursor sobre OPS, selecciona opción 5: seq( y escribe (expression, variable, begin, end). Para este problema en particular, la calculadora arroja lo siguiente:

$seq\left(x^2-1,x,1,3 \right) =\{0 \ 3 \ 8\}$ para los primeros tres términos

$seq\left(x^2-1,x,15,15 \right)=\{224\}$ para el $15^{th}$ término

$seq\left(x^2-1,x,40,40 \right)=\{1599\}$ para el $40^{th}$ término.

Ejemplo B

Escribe una regla general para la secuencia: $5, 10, 15, 20,\ldots$

Solución: El ejemplo anterior muestra cómo una regla general coordena un número del término directamente al valor del término. Otra forma de decir esto es que la regla general expresa el término $n^{th}$ como una función de $n$ . Pongamos los términos de la secuencia anterior en una tabla con sus números de término para ayudar a identificar la regla.

Observar los términos y los números del término juntos nos ayuda a comprender que cada término es el resultado de la multiplicación del número de término por 5. La regla general es $a_n=5n$

$n$	1	2	3	4
$a$	5	10	15	20

Ejemplo C

Encuentra la regla para el término $n^{th}$ para la secuencia: $0, 2, 6, 12,\ldots$

Solución: Hagamos otra vez la tabla para analizar la relación entre el número del término y el valor del término.

$n$	1	2	3	4
$a_n$	0	2	6	12
$n(?)$	$(1)(0)$	$(2)(1)$	$(3)(2)$	$(4)(3)$

Esta vez el patrón no es tan evidente. Para empezar, escribe cada término como el producto del número del término y un segundo factor. Entonces, se puede observar que el segundo factor es siempre uno menos que el número del término y la regla general se puede escribir como $a_n=n(n-1)$

Revisión del Problema Introductorio Pongamos los términos de la secuencia en una tabla con sus números de los términos para facilitar la identificación de la regla.

$n$	1	2	3	4
$a$	4800	4600	4400	4200

Observar los términos y los números de los términos juntos nos ayuda a entender que cada término es el resultado de sustraer 200 veces uno menos que el término del primer término. La regla general es $a_n=a_{n-1} - 200(n - 1)$ .

Práctica Guiada

1. Dada la regla general: $a_n=3n-13$ , escribe los cinco primeros términos, el $25^{th}$ término y el $200^{th}$ término de la secuencia.

2. Escribe la regla general para la secuencia: $4, 5, 6, 7,\ldots$

3. Escribe la regla general y encuentra el $35^{th}$ término de la secuencia: $-1, 0, 3, 8, 15,\ldots$

Respuestas

1. Inserta los números de los términos como se muestra:

$a_1 &=3(1)-13=-10 \\\a_2 &=3(2)-13=-7 \\\a_3 &=3(3)-13=-4 \\\a_4 &=3(4)-13=-1 \\\a_5 &=3(5)-13=2 \\\a_{25} &=3(25)-13=62 \\\a_{200} &=3(200)-13=587$

2. Pon los valores en una tabla con los números de los términos y observa si existe una forma de escribir el término como una función del número del término.

$n$	1	2	3	4
$a_n$	4	5	6	7
$n\pm(?)$	$(1)+3$	$(2)+3$	$(3)+3$	$(4)+3$

Cada término parece ser el resultado de la adición de tres al número del término. Entonces, la regla general es $a_n=n+3$

3. Pon los valores en una tabla con los números de los términos y observa si existe una forma de escribir el término como una función del número del término.

$n$	1	2	3	4	5
$a_n$	-1	10	3	8	15
$n(?)$	$(1)(-1)$	$(2)(0)$	$(3)(1)$	$(4)(2)$	$(5)(3)$

Cada término parece ser el resultado de multiplicar el número del término por dos menos que el número del término. Entonces, la regla general es $a_n=n(n-2)$ .

Vocabulario

Término $n^{th}$ o regla general: Una fórmula que relaciona el término con el número del término y así se pueden usar para calcular cualquier término en una secuencia, se conozca o no cualquier término.

Práctica

Utiliza la regla para término $n^{th}$ para generar los términos indicados en cada secuencia.

$2n+7$ , términos $1-5$ y el $10^{th}$ término.
$-5n-1$ , términos $1-3$ y el $50^{th}$ término.
$2^n-1$ , términos $1-3$ y el $10^{th}$ término.
$\left(\frac{1}{2}\right)^n$ , términos $1-3$ y el $8^{th}$ término.
$\frac{n(n+1)}{2}$ , términos $1-4$ y el $20^{th}$ término.

Usa tu calculadora para generar los primeros 5 términos en cada secuencia. Usa la función MATH > FRAC , en tu calculadora para convertir decimales a fracciones.

$4n-3$
$-\frac{1}{2}n+5$
$\left(\frac{2}{3}\right)^n+1$
$2n(n-1)$
$\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

Escribe la regla del término $n^{th}$ para las siguientes secuencias.

$3,5,7,9,\ldots$
$1,7,25,79,\ldots$
$6,14,24,36,\ldots$
$6,5,4,3,\ldots$
$2,5,9,14,\ldots$

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