Series y Sumatorias

En esta sección escribirás los términos de una serie y encontrarás la suma de una serie finita.

El número de ciervos marcados que se reportó a la comisión de juego un sábado se representa por la suma $\sum\limits_{n=1}^6 3n - 2$ . ¿Cuántos ciervos marcados se reportaron?

Orientación

Una serie es la suma de los términos en una secuencia. Una serie a menudo se expresa en sumatoria (también se llama notación sigma) la que usa la letra griega mayúscula $\sum$ , sigma. Ejemplo: $\sum\limits_{n=1}^5 n=1+2+3+4+5=15$ . Debajo del sigma está el índice (en este caso $n$ ) que nos dice que valor insertar primero. Sobre el sigma está el límite superior que nos dice el límite superior para insertar en la regla.

Ejemplo A

Escribe los términos y encuentra la suma de la serie: $\sum\limits_{n=1}^6 4n+1$

Solución: Comienza por reemplazar n con los valores del 1 hasta el 6 para encontrar los términos en la serie y entonces súmalos todos.

$& \left(4(1)-1\right)+\left(4(2)-1\right)+\left(4(3)-1\right)+\left(4(4)-1\right)+\left(4(5)-1\right)+\left(4(6)-1\right) \\\& 3+7+11+15+19+23 \\\& =78$

Calculadora: La calculadora gráfica también se puede usar para evaluar esta suma. Usaremos una función compuesta en la que sumaremos una secuencia. Ve a $2^{nd}$ STAT (para obtener el menú List ) y pon el cursor sobre MATH . Selecciona la opción 5: sum( entonces vuelve al menú List , pon el cursor sobre OPS y selecciona la opción 5: seq( para obtener la suma (seq( en tu pantalla. Luego, escribe (expression, variable, begin, end) al igual como lo hicimos en el punto anterior para enlistar los términos en una secuencia. Al incluir la suma (command, la calculadora sumará los términos en la secuencia por nosotros. Para este problema en particular la expresión y el resultado en la calculadora son:

$sum(seq(4x-1,x,1,6))=78$

Para obtener una lista de los términos, solo usa $seq\left(4x-1,x,1,6\right)=\{3 \ \ 7 \ \ 11 \ \ 15 \ \ 19 \ \ 23\}$ .

Ejemplo B

Escribe los términos y encuentra la suma de la serie: $\sum\limits_{n=9}^{11} \frac{n(n+1)}{2}$

Solución: Reemplaza $n$ con los valores 9, 10 y 11 y suma la serie resultante.

$& \frac{9(9-1)}{2}+\frac{10(10-1)}{2}+\frac{11(11-1)}{2} \\\& \qquad \qquad \qquad 36+45+55 \\\& \qquad \qquad \qquad \qquad 136$

Usar la calculadora: $sum(seq(x(x-1)/2,x,9,11))=136$ .

Orientación

Hay algunas pocas series especiales que se usan en clases más avanzadas de matemáticas, como en cálculo. En estas series, usaremos la variable, $i$ , para representar el índice y $n$ para representar la cota superior (número total de términos) para la suma.

$\sum\limits_{i=1}^n 1=n$

Sea $n = 5$ , ahora tenemos la serie $\sum\limits_{i=1}^5 1=1+1+1+1+1=5$ . Básicamente, en la serie estamos añadiendo 1 a sí mismo $n$ veces (o calcular $n\times1$ ) entonces la suma resultante siempre será $n$ .

$\sum\limits_{i=1}^n i=\frac{n(n+1)}{2}$

Si $n=5$ otra vez obtenemos $\sum\limits_{i=1}^n i=1+2+3+4+5=15=\frac{5(5+1)}{2}$ . Este último es un poco más difícil de derivar pero se puede ilustrar usando diferentes valores de $n$ . Esta regla está muy relacionada con la regla para la suma de una serie aritmética y se usará para demostrar la fórmula de la suma posteriormente en este capítulo.

$\sum\limits_{i=1}^n i=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

Sea $n=5$ una vez más. Usando la regla, la suma es $\frac{5(5+1)(2(5)+1)}{6}=\frac{5(6)(11)}{6}=55$

Si escribimos los términos en la serie y encontramos su suma, obtenemos $1^2+2^2+3^2+4^2+5^2=1+4+9+16+25=55$ .

La derivación para esta regla está fuera del ámbito de este curso.

Ejemplo C

Usa una de las reglas anteriores para evaluar $\sum\limits_{i=1}^{15} i^2$ .

Solución: Usando la regla $\sum\limits_{i=1}^n i^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ , obtenemos $\frac{15(15+1)(2(15)+1)}{6}=\frac{15(16)(31)}{6}=1240$

Revisión del Problema Introductorio Comienza por reemplazar n con los valores entre 1 y 6 para encontrar los términos en la serie y entonces añádelos juntos.

$& \left(3(1)-2\right)+\left(3(2)-2\right)+\left(3(3)-2\right)+\left(3(4)-2\right)+\left(3(5)-2\right)+\left(3(6)-2\right) \\\& 1+4+7+10+13+16 \\\& =51$

Por lo tanto, se reportaron 51ciervos.

Práctica Guiada

Evalúa lo siguiente. Primero sin calculadora, luego usa la calculadora para comprobar tu resultado.

1. $\sum\limits_{n=3}^7 2(n-3)$

2. $\sum\limits_{n=1}^7 \frac{1}{2}n+1$

3. $\sum\limits_{n=1}^4 3n^2-5$

Respuestas

1. $\sum\limits_{n=3}^7 2(n-3) &=2(3-3)+2(4-3)+2(5-3)+2(6-3)+2(7-3) \\\ &=2(0)+2(1)+2(2)+2(3)+2(4) \\\ &=0+2+4+6+8 \\\ &=20$

$sum(seq(2(x-3),x,3,7)=20$

2. $\sum\limits_{n=1}^7 \frac{1}{2}n+1 &=\frac{1}{2}(1)+1+\frac{1}{2}(2)+1+\frac{1}{2}(3)+1+\frac{1}{2}(4)+1+\frac{1}{2}(5)+1+\frac{1}{2}(6)+1+\frac{1}{2}(7)+1 \\\&=\frac {1}{2}+1+1+1+\frac{3}{2}+1+2+1+\frac{5}{2}+1+3+1+\frac{7}{2}+1 \\\&=\frac{16}{2}+13 \\\&=8+13 \\\&=21$

$sum(seq(1/2x+1,x,1,7)=21$

3. $\sum\limits_{n=1}^4 3n^2-5 &=3(1)^2-5+3(2)^2-5+3(3)^2-5+3(4)^2-5 \\\&=3-5+12-5+27-5+48-5 \\\&=90-20 \\\&=70$

$sum(seq(3x^2-5,x,1,4)=70$

Vocabulario

Serie: La suma de los términos en una secuencia.

Práctica

Copia detalladamente los términos y encuentra la suma de las siguientes series.

$\sum\limits_{n=1}^5 2n$
$\sum\limits_{n=5}^8 n+3$
$\sum\limits_{n=10}^{15} n(n-3)$
$\sum\limits_{n=3}^7 \frac{n(n-1)}{2}$
$\sum\limits_{n=1}^6 2^{n-1}+3$

Usa tu calculadora para encontrar las siguientes sumas.

$\sum\limits_{n=10}^{15} \frac{1}{2}n+3$
$\sum\limits_{n=0}^{50} n-25$
$\sum\limits_{n=1}^5 \left(\frac{1}{2}\right)^{n-5}$
$\sum\limits_{n=5}^{12} \frac {n(2n+1)}{2}$
$\sum\limits_{n-1}^{100} \frac{1}{2}n$
$\sum\limits_{n=1}^{200} n$

En los problemas 12-14, escribe detalladamente los términos en cada una de las series y encuentra las sumas.

1. $\sum\limits_{n=1}^5 2n+3$
2. $3(5)+\sum\limits_{n=1}^5 2n$
1. $\sum\limits_{n=1}^5 \frac{n(n+1)}{2}$
2. $\frac{1}{2}\sum\limits_{n=1}^5 n(n+1)$
1. $\sum\limits_{n=1}^5 4x^3$
2. $4\sum\limits_{n=1}^5 x^3$
Explica por qué cada par en las preguntas 12-14 tiene la misma suma.
¿Qué otra forma hay de explicar la serie en #11?

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