Secuencias Aritméticas y encontrar el Término enésimo dada la diferencia común y un término

En esta sección identificarás una secuencia aritmética y su diferencia común y escribirás una regla para el término $n^{th}$ dada la diferencia común y un término.

El cometa Halley aparece en el cielo aproximadamente cada 76 años. El cometa se observó por primera vez en el año 1531. Encuentra la regla para término $n^{th}$ y el $10^{th}$ término para la secuencia representada por esta situación.

Orientación

En esta sección comenzaremos a observar un tipo específico de secuencia llamada secuencia aritmética . En una secuencia aritmética la diferencia entre dos términos consecutivos cualquiera es constante. Esta diferencia constante se llama la diferencia común . Por ejemplo, la pregunta en la Fila de Revisión anterior es una secuencia aritmética. La diferencia entre el primer y el segundo término es $(5 - 3) = 2$ , la diferencia entre el segundo y el tercer término es $(7 - 5) = 2$ y así sucesivamente. Podemos generalizar esto en la siguiente ecuación:

$a_n-a_{n-1}=d$ , donde $a_{n-1}$ y $a_n$ representan dos términos consecutivos y $d$ representa la diferencia común.

Ya que el mismo valor, la diferencia común, $d$ , se añade para obtener cada término sucesivo en una secuencia aritmética podemos determinar el valor de cualquier desde el primer término y cómo muchas veces necesitamos añadir $d$ para obtener el término deseado como se ilustra más abajo:

Dada la secuencia: $22, 19, 16, 13, \ldots$ en la que $a_1=22$ y $d=-3$

$a_1&=22 \ or \ 22+(1-1)(-3)=22+0=22 \\\a_2&=19 \ or \ 22+(2-1)(-3)=22+(-3)=19 \\\a_3&=16 \ or \ 22+(3-1)(-3)=22+(-6)=16 \\\a_4&=13 \ or \ 22+(4-1)(-3)=22+(-9)=13 \\\&\qquad \qquad \vdots \\\a_n&=22+(n-1)(-3) \\\a_n&=22-3n+3 \\\a_n&=-3n+25$

Ahora podemos generalizar esto en una regla para el término $n^{th}$ de cualquier secuencia aritmética:

$a_{n}=a_1+(n-1)d$

Ejemplo A

Encuentra la diferencia común y la regla del término $n^{th}$ para la secuencia aritmética: $2, 5, 8, 11 \ldots$

Solución: Para encontrar la diferencia común substraemos los términos consecutivos.

$5-2&=3 \\\8-5&=3 \ ,\text{thus the common difference is} \ 3. \\\11-8&=3$

Ahora podemos poner nuestro primer término y la diferencia común en la regla del término $n^{th}$ encontrado anteriormente y simplificar la expresión.

$a_n&=2+(n-1)(3) \\\&=2+3n-3 \quad ,\text{so} \ a_n=3n-1. \\\&=3n-1$

Ejemplo B

Encuentra la regla del término $n^{th}$ y así el $100^{th}$ término para la secuencia aritmética en la que $a_1=-9$ y $d=2$ .

Solución: Tenemos lo que necesitamos para insertar la regla:

$a_n&=-9+(n-1)(2) \\\&=-9+2n-2 \quad , \text{thus the} \ n^{th} \ \text{term rule is} \ a_n=2n-11. \\\&=2n-11$

Ahora para encontrar el $100^{th}$ término podemos usar nuestra propia regla y reemplazar $n$ con 100: $a_{100}=2(100)-11=200-11=189$ .

Ejemplo C

Encuentra la regla para el término $n^{th}$ y entonces el $100^{th}$ término para la secuencia aritmética en la que $a_3=8$ y $d=7$ .

Solución: Este ejemplo es algo más ambiguo ya que tendremos que determinar en primer lugar el primer término a partir del término dado. Para hacer esto, reemplazaremos $a_n$ con $a_3=8$ y usaremos 3 para $n$ en la fórmula para determinar el primer término desconocido como se muestra:

$a_1+(3-1)(7)&=8 \\\a_1+2(7)&=8 \\\a_1+14&=8 \\\a_1&=-6$

Ahora que tenemos el primer término y la diferencia común podemos seguir el mismo proceso que usamos en el ejemplo anterior para completar el problema.

$a_n&=-6+(n-1)(7) \\\&=-6+7n-7 \quad , \text{thus} \ a_n=7n-13. \\\&=7n-13$

Ahora podemos encontrar el $100^{th}$ término: $a_{100}=7(100)-13=687$ .

Revisión del Problema Introductorio A partir de la información dada, podemos concluir que $a_1=1531$ y $d=76$ .

Ahora tenemos lo que necesitamos para insertar la regla:

$a_n&=1531+(n-1)(76) \\\&= 1531+76n-76 \quad , \text{thus the} \ n^{th} \ \text{term rule is} \ a_n=76n+1455$

Ahora para encontrar el $10^{th}$ término podemos utilizar nuestra propia regla y reemplazar $n$ con 10: $a_{10}=76(10) + 1455=760 + 1455 =2215$ .

Práctica Guiada

1. Encuentra la diferencia común y la regla para el $n^{th}$ término para la secuencia: $5, -3, -11,\ldots$

2. Escribe la regla para el término $n^{th}$ y encuentra el $45^{th}$ término para la secuencia aritmética con $a_{10}=1$ y $d=-6$ .

3. Encuentra el $62^{nd}$ término para la secuencia aritmética con $a_1=-7$ y $d=\frac{3}{2}$ .

Respuestas

1. La diferencia común es $-3-5=-8$ . Ahora $a_n=5+(n-1)(-8)=5-8n+8=-8n+13$ .

2. Para encontrar el primer término:

$a_1+(10-1)(-6)&=1 \\\a_1-54&=1 \\\a_1&=55$

Encuentra la regla para el término $n^{th}$ : $a_n=55+(n-1)(-6)=55-6n+6=-6n+61$ .

Finalmente, el $45^{th}$ término: $a_{45}=-6(45)+61=-209$ .

3. Esta vez, no simplificaremos la regla para el término $n^{th}$ solamente usaremos la fórmula para encontrar el $62^{rd}$ término: $a_{62}=-7+(62-1) \left(\frac{3}{2}\right)=-7+61 \left(\frac{3}{2}\right)=- \frac{14}{2}+ \frac{183}{2}= \frac{169}{2}$ .

Vocabulario

Secuencia Aritmética: Una secuencia en la que la diferencia entre dos términos consecutivos es constante.

Diferencia Común: El valor de la diferencia constante entre dos términos consecutivos cualquiera en una secuencia aritmética.

Práctica

Identifica cuál de las siguientes secuencias es aritmética. Si la secuencia es aritmética, encuentra la regla para el término $n^{th}$ .

$2, 3, 4, 5, \ldots$
$6, 2, -1, -3, \ldots$
$5, 0, -5, -10, \ldots$
$1, 2, 4, 8, \ldots$
$0, 3, 6, 9, \ldots$
$13, 12, 11, 10, \ldots$
$4, -3, 2, -1, \ldots$
$a, a+2, a+4, a+6, \ldots$

Escribe la regla para el término $n^{th}$ para cada secuencia aritmética para cada término dado y la diferencia común.

$a_1=15$ y $d=-8$
$a_1=-10$ y $d= \frac{1}{2}$
$a_3=24$ y $d=-2$
$a_5=-3$ y $d=3$
$a_{10}=-15$ y $d=-11$
$a_7=32$ y $d=7$
$a_{n-2}=3n+2$ , encuentra $a_n$

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