Encuentra el Término enésimo Dados Dos Términos

En esta sección escribirás la regla para el término $n^{th}$ para la secuencia aritmética dados dos términos cualquiera en la secuencia.

Estás pagando un préstamo estudiantil en cuotas mensuales. Después de la quinta cuota te resta por pagar $17.500. Después de la $16th$ cuota, tu saldo restante es de $12.000. ¿Cuál es la regla para el término $n^{th}$ para la secuencia en esta situación?

Orientación

En la última sección nos dieron la diferencia común directamente o dos términos consecutivos con los cuales podemos determinar la diferencia común. En esta sección, encontraremos la diferencia común y escribiremos la regla para el término $n^{th}$ dados dos términos cualquiera en la secuencia.

Ejemplo A

Encuentra la diferencia común, el primer término y la regla para el término $n^{th}$ para la secuencia aritmética en la que $a_7=17$ y $a_{20}=82$ .

Solución: Comenzaremos usando la regla para el término $n^{th}$ para la secuencia aritmética para crear dos ecuaciones en dos variables:

$a_7=17$ , entonces $a_1+(7-1)d=17$ o más sencillamente: $a_1+6d=17$

$a_{20}=82$ , entonces $a_1+(20-1)d=82$ o más sencillamente: $a_1+19d=82$

Resuelve el sistema resultante:

$& \qquad a_1+6d=17 \qquad \qquad \quad \cancel{a}_1+6d \ =17 \\\&\underline{-1(a_1+19d=82)} \quad \Rightarrow \quad \underline{- \cancel{a}_1-19d=-82} \\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \ -13d=-65 \\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \ \ d=5$ , al reemplazar $d$ con 5 en una de las ecuaciones obtenemos $a_1+6(5)&=7 \\\a_1+30&=17 \\\a_1&=-13$ .

Al usar estos valores podemos encontrar la regla para el término $n^{th}$ :

$a_n&=-13+(n-1)(5) \\\a_n&=-13+5n-5 \\\a_n&=5n-18$

Ejemplo B

Encuentra la diferencia común, el primer término y la regla para el término $n^{th}$ para la secuencia aritmética en la que $a_{11}=-13$ y $a_{40}=-71$ .

Solución: Aunque este es exactamente el mismo tipo de problema del ejemplo A, usaremos un acercamiento diferente. Descubrimos en la última sección que la regla para el término $n^{th}$ es en realidad solo usar el primer término y añadir $d$ a $n-1$ veces para encontrar el término $n^{th}$ Usaremos esa idea para encontrar la diferencia común. Para encontrar desde el $11^{th}$ término hasta el $40^{th}$ término, se añade la diferencia común $40-11$ o 29 veces. La diferencia en los valores de los términos es $-71-(-13)$ o -58. ¿Qué se debe añadir 29 veces para crear la diferencia de -58? Podemos sustraer los términos y dividir por la diferencia en el número del término para determinar la diferencia común.

$\frac{-71- \left(-13\right)}{40-11}= \frac{-71+13}{29}=\frac{-58}{29}=-2. \ \text{So} \ d=-2.$

Ahora podemos usar la diferencia común y uno de los términos para encontrar el primer término como lo hicimos anteriormente.

$a_1+(11-1)(-2)&=-13 \\\a_1+(-20)&=-13 \\\a_1&=7$

Al escribir la regla para el término $n^{th}$ obtenemos: $a_n=7+(n-1)(-2)=7-2n+2=-2n+9$ .

Orientación

Antes de que miremos el ejemplo final para esta sección, vamos a conectar la regla para el término $n^{th}$ para una secuencia aritmética para la ecuación de una recta. ¿Te has fijado que la regla para el término $n^{th}$ simplificado, $a_n=pn+q$ , donde $p$ y $q$ representan constantes, parece como $y=mx+b$ , la forma del intercepto de la pendiente de la ecuación de una recta? Exploremos por qué es este el caso al usar la secuencia aritmética $1, 4, 7, 10, \ldots$ Si creamos puntos dejando que la coordinada $x$ sea el número del término y la coordinada $y$ sea el término, obtenemos los siguientes puntos y podemos graficarlos en el plano cartesiano como se muestra a continuación,

Los puntos son: $(1, 1), (2, 4), (3, 7), (4, 10)$

Observa que todos estos puntos están ubicados en la misma recta. Esto sucede porque por cada incremento de uno en el número del término $(x)$ , el valor del término $(y)$ se incrementa en 3. Esta diferencia común es en realidad la pendiente de la recta.

Podemos obtener la ecuación de esta recta usando la pendiente, 3, y el punto $(1, 1)$ en la ecuación $y=mx+b$ como se muestra a continuación:

$1&=3(1)+b \\\1&=2+b \quad , \text{so the equation of the line is} \ y=3x-1 \\\-1&=b$

La regla para el término $n^{th}$ para la secuencia es entonces: $a_n=3n-1$ .

Ejemplo C

Encuentra la diferencia común, el primer término y la regla para el término $n^{th}$ para la secuencia aritmética en la que $a_{10}=-50$ y $a_{32}=-182$ .

Solución: Esta vez usaremos el concepto que los términos en una secuencia aritmética son en realidad puntos en una recta para escribir una ecuación. En este caso nuestros puntos son $(10, -50)$ y $(32, -182)$ . Podemos encontrar la pendiente y la ecuación como se muestra.

$m=\frac{-182- \left(-50\right)}{32-10}=\frac{-132}{22}=-6$

Usa el punto $(10, -50)$ entonces encuentra el interceptor $y$ : $-50&=-6(10)+b \\\-50&=-60+b \\\10&=b$ , entonces $y=-6x+10$ y $a_n=-6n+10$ .

Revisión del Problema Introductorio Podemos usar cualquiera de estos métodos aprendidos en esta lección, pero emplearemos la estrategia usada en el ejemplo C para propósitos ilustrativos.

En este caso nuestros puntos son $(5, 17,500)$ y $(16, 12,000)$ . Podemos encontrar la pendiente y la ecuación como se muestra.

$m=\frac{12,000-17,500}{16-5}=\frac{-5500}{11}=-500$

Usa el punto $(5, 17,500)$ para encontrar el intercepto en $y$ : $17,500&=-500(5)+b \\\17,500&=-2500+b \\\20,000&=b$ , entonces $y=-500x+20,000$ y $a_n=-500n+20,000$ .

Práctica Guiada

1. Usa el método en el ejemplo A para encontrar la regla para el término $n^{th}$ para la secuencia aritmética con $a_6=-13$ y $a_{15}=-40$ .

2. Usa el método en el ejemplo B para encontrar la regla para el término $n^{th}$ para la secuencia aritmética con $a_6=13$ y $a_{22}=77$ .

3. Usa el método en el ejemplo C para encontrar la regla para el término $n^{th}$ para la secuencia aritmética con $a_7=-75$ y $a_{25}=-273$ .

Respuestas

1. De $a_6=-13$ obtenemos la ecuación $a_1+(6-1)d=a_1+5d=-13$ .

De $a_{15}=-40$ obtenemos la ecuación $a_1+(15-1)d=a_1+14d=-40$ .

Usa las dos ecuaciones para calcular el valor de $a_1$ y $d$ :

$& \quad \ a_1+5d=-13 \qquad \qquad \qquad \qquad \quad a_1+5(-3)=-13 \\\&\underline{-a_1-14d=40 \;\;} \ \text{Use} \ d \ \text{to find} \ a_1 \Rightarrow \qquad a_1-15=-13. \\\& \qquad \ -9d=27 \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \ \ a_1=2 \\\& \qquad \qquad d=-3$

Encuentra la regla para el término $n^{th}$ : $a_n=2+(n-1)(-3)=2-3n+3=-3n+5$ .

2. La diferencia común es $\frac{77-13}{22-6}=\frac{64}{16}=4$ . El primer término se puede encontrar usando $a_6=13$ : $a_1+(6-1)(4)&=13 \\\a_1+20&=13 \\\a_1&=-7$ . Entonces $a_n=-7+(n-1)(4)=-7+4n-4=4n-11$ .

3. De $a_7=-75$ obtenemos el punto $(7, -75)$ . De $a_{25}=-273$ obtenemos el punto $(25, -273)$ . La pendiente entre estos puntos es $\frac{-273- \left(-75\right)}{25-7}=\frac{-198}{18}=-11$ . El intercepto en $y$ se puede encontrar junto con el punto $(7, -75)$ :

$-75&=-11(7)+b \\\-75&=-77+b \\\2&=b$

La ecuación final es $y=-11x+2$ y la regla para el término $n^{th}$ es $a_n=-11n+2$ .

Práctica

Usa los dos términos dados para encontrar la regla para el término $n^{th}$ para la secuencia.

$a_7=-17$ y $a_{25}=-71$
$a_{11}=23$ y $a_{42}=85$
$a_3=-6$ y $a_{12}=-3$
$a_8=24$ y $a_2=9$
$a_6=-27$ y $a_{10}=-47$
$a_4=37$ y $a_{12}=85$
$a_{13}=-20$ y $a_{30}=-54$
$a_3=23$ y $a_9=65$
$a_{30}=-31$ y $a_{45}=-46$
$a_5=25$ y $a_{11}=73$
$a_{10}=-2$ y $a_{25}=-14$
$a_{16}=14$ y $a_{28}=23$
$a_2=4n+3$ y $a_{19}=4n+65$
$a_{10}=-3n+7$ y $a_{23}=-3n-16$
¿Qué método prefieres? ¿Por qué?

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