Encontrar la Suma de una Serie Aritmética Finita

En esta sección encontrarás la suma de una serie aritmética usando la fórmula y la calculadora.

Los asientos de un teatro están distribuidos de tal manera que cada fila tiene dos asientos más que la que está delante de esta. La primera fila tiene cinco asientos y hay 30 filas de asientos en el teatro. ¿Cuántos asientos hay en total en el teatro?

Orientación

En la sección Series y Sumatoria exploramos cómo usar la calculadora para evaluar la suma de una serie. Este método también se puede usar para encontrar la suma de una serie aritmética. Como discutimos anteriormente en la unidad, una serie es simplemente la suma de una secuencia, entonces una serie aritmética es una suma de una secuencia aritmética. Observemos un ejemplo para ilustrar esto y desarrollar una fórmula para encontrar la suma de una serie aritmética finita.

Ejemplo A

Encuentra la suma de la serie aritmética: $1 + 3 + 5 + 7 + 9 +11 + \ldots + 35 + 37 + 39$

Solución: Ahora, aunque simplemente podríamos sumar todos estos términos para obtener la suma, si tuviéramos que sumar una gran cantidad de términos estaríamos ocupados mucho tiempo. Un famoso matemático alemán, Johann Carl Friedrich Gauss, usó el método que se describe aquí para determinar la suma de los primeros 100 enteros en una escuela primaria. Primero, podemos copiar detalladamente todos los números dos veces, en orden ascendente y descendente, y observar que la suma de cada par de números es la misma:

$& \ 1 \ \ 3 \quad 5 \quad 7 \quad \ 9 \quad 11 \quad \ldots \quad 35 \quad 37 \quad 39 \\\& 39 \ 37 \ 35 \ \ 33 \ \ 31 \quad 29 \quad \ldots \quad 5 \quad \ 3 \quad \ \ 1 \\\& \qquad \qquad \qquad \quad \ \vdots \\\& 40 \ 40 \ 40 \ \ 40 \ \ 40 \quad 40 \quad \ldots \ \ 40 \quad \ 40 \quad 40$

Nota que la suma de los términos correspondientes en orden inverso es siempre igual a 40, que es la suma del primer y último término en la secuencia.

Lo que Gauss notó fue que esta suma se puede multiplicar por el número de términos y entonces dividirse por dos (debido a que estamos, en realidad, sumando la serie dos veces) para obtener la suma de los términos en la secuencia original. Para el problema que le dieron en la escuela, encontrar la suma de los primeros 100 enteros, el fue capaz de usar solamente el primer término, $a_1=1$ , el último término, $a_n=100$ , y el número total de términos, $n=100$ , en la siguiente fórmula:

$\frac{n \left(a_1+a_n\right)}{2}=\frac{100 \left(1+100\right)}{2}=5050$

En nuestro ejemplo, conocemos el primer y el último término, pero ¿Cuántos términos hay? Necesitamos encontrar $n$ para usar la fórmula para encontrar la suma de las series. Podemos usar el primer y el último término y el término $n^{th}$ para hacerlo.

$a_n&=a_1+d(n-1) \\\39&=1+2(n-1) \\\38&=2(n-1)\\\19&=n-1 \\\20&=n$ Ahora la suma es $\frac{20 \left(1+39\right)}{2}=400$ .

Orientación para probar la Fórmula de la Suma Aritmética

La regla para encontrar el término $n^{th}$ de una secuencia aritmética y las propiedades de las sumatorias que se exploraron en el conjunto de problemas en la sección Series y Sumatorias se pueden usar para comprobar la fórmula de forma algebraica. Primero, empezaremos con la regla para el término $n^{th}$ , $a_n=a_1+(n-1)d$ . Necesitamos encontrar la suma de muchos términos $n^{th}$ ( $n$ para ser exactos) entonces usaremos el índice, $i$ , en una suma total como se muestra a continuación:

$\sum \limits_{i=1}^n \left [ a_1+(i-1)d\right ]$ Recuerda que $a_1$ y $d$ son constantes en esta expresión.

Podemos separar esta expresión en dos sumatorias separadas como se muestra: $\sum \limits_{i=1}^n a_1+ \sum \limits_{i=1}^n (i-1)d$

Expandir la primera sumatoria, $\sum \limits_{i=1}^n a_1=a_1+a_1+a_1+ \ldots+a_1$ de forma que $a_1$ se añade a sí mismo $n$ veces. Podemos simplificar esta expresión en $a_1n$ .

En la segunda suma total, $d$ se puede traer al frente de la suma total y la diferencia que está dentro se puede separar tal como lo hicimos con la adición para obtener: $d \left [ \sum \limits_{i=1}^n i- \sum \limits_{i=1}^n 1 \right ]$ . Usar las reglas de la sección Series y Sumatorias , $\sum \limits_{i=1}^n i= \frac{1}{2}n(n+1)$ y $\sum \limits_{i=1}^n 1=n$ . Ubicándolo todo junto, podemos escribir una expresión sin ningún símbolo sumatorio y simplificar.

$& a_1n+d \left [ \frac{1}{2}n(n+1)-n\right ] \\\& =a_1n+\frac{1}{2}dn(n+1)-dn && \ \text{Distribute} \ d \\\& =\frac{1}{2}n \left [2a_1+d(n+1)-2d\right ] && \ \text{Factor out} \ \frac{1}{2}n \\\& =\frac{1}{2}n \left [ 2a_1+dn+d-2d\right ] \\\& =\frac{1}{2}n \left [ 2a_1+dn-d\right ] \\\& =\frac{1}{2}n \left [ 2a_1+d(n-1)\right ] && \leftarrow \ \text{This version of the equation is very useful if you don't know the} \ n^{th} \ \text{term}.\\\& =\frac{1}{2}n \left [ a_1+(a_1+d(n-1))\right ] \\\& =\frac{1}{2}n(a_1+a_n)$

Ejemplo B

Encuentra la suma de los primeros 40 términos en la serie aritmética. $35 + 31 + 27 + 23 + \ldots$

Solución: Para esta serie en particular sabemos el primer término y la diferencia común, entonces usemos la regla que no requiere el término $n^{th}$ : $\frac{1}{2}n \left [ 2a_1+d(n-1)\right ]$ , donde $n=40,d=-4$ y $a_1=35$ .

$\frac{1}{2}(40) \left [ 2(35)+(-4)(40-1)\right ]=20 \left [ 70-156 \right ]=-1720$

Podemos también encontrar el término $n^{th}$ y usar la regla $\frac{1}{2}n(a_1+a_n)$ , donde $a_n=a_1+d(n-1)$ .

$a_{40}=35+(-4)(40-1)=35-156=-121$ , entonces la suma es $\frac{1}{2}(40)(35-121)=20(-86)=-1720$ .

Ejemplo C

Dado que en una serie aritmética $a_{21}=165$ y $a_{35}=277$ , encuentra la suma de los términos del 21 al 35.

Solución: Esta vez sabemos el “primer” y el “último” término de la serie, pero no el número de términos o la diferencia común. Ya que nuestra serie comienza con el $21^{st}$ término y termina con el $35^{th}$ término, hay 15 términos en esta serie. Ahora podemos usar la regla para encontrar la suma como se muestra.

$\frac{1}{2}(15)(165+277)=3315$

Ejemplo D

Encuentra la suma de la serie aritmética $\sum \limits_{i=1}^8 (12-3i)$

Solución: De la sumatoria, sabemos que necesitamos sumar 8 términos. Podemos usar la expresión $12-3i$ para encontrar el primer y el último término y entonces usar la regla para encontrar la suma.

Primer término: $12-3(1)=9$

Último término: $12-3(8)=-12$

$\sum \limits_{i=1}^8 (12-3i)=\frac{1}{2}(8)(9-12)=4(-3)=-12$ .

También podemos usar la calculadora en este problema: $sum(seq(12-3x,x,1,8))=-12$

Revisión del Problema Introductorio Para esta serie en particular sabemos el primer término y la diferencia común, entonces usemos la regla que no requiere que conozcamos el término $n^{th}$ : $\frac{1}{2}n \left [ 2a_1+d(n-1)\right ]$ , donde $n=30,d=2$ y $a_1=5$ .

$\frac{1}{2}(30) \left [ 2(5)+(2)(30-1)\right ]=15 \left [ 10+58 \right ]=1020$

Por lo tanto, hay un total de 1020 asientos en el teatro.

Práctica Guiada

1. Encuentra la suma de la serie $87 + 79 + 71 + 63 + \ldots + -105$ .

2. Encuentra $\sum \limits_{i=10}^{50}(3i-90)$ .

3. Encuentra la suma de los 30 primeros términos en la serie $1 + 6 + 11 + 16 +\ldots$

Respuestas

1. $d=8$ , entonces $-105&=87+(-8)(n-1) \\\-192&=-8n+8 \\\-200&=-8n \\\n&=25$ y entonces usando la regla para encontrar la suma es $\frac{1}{2}(25)(87-105)=-225$

2. El $10^{th}$ término es $3(10)-90=-60$ , el $50^{th}$ término es $3(50)-90=60$ y $n=50-10+1=41$ (añade 1 para incluir el $10^{th}$ término). La suma de la serie es $\frac{1}{2}(41)(-60+60)=0$ . Nota que usar la calculadora es una buena opción para solucionar este problema: $sum(seq(3x-90,x,10,50))=0$ .

3. $d=5$ , usa la fórmula de suma, $\frac{1}{2}n(2a_1+d(n-1))$ , para obtener $\frac{1}{2}(30)\left [2(1)+5(30-1)\right]=15\left[2+145\right]=2205$

Práctica

Encuentra las sumas de las siguientes series aritméticas.

$-6 + -1 + 4 +\ldots+ 119$
$72 + 60 + 48 + \ldots + -84$
$3 + 5 + 7 + \ldots + 99$
$25 + 21 + 17 + \ldots + -23$
Encuentra la suma de los primeros 25 términos en la serie $215 + 200 + 185 + \ldots$
Encuentra la suma de los primeros 14 términos en la serie $3 + 12 + 21 + \ldots$
Encuentra la suma de los primeros 32 términos en la serie $-70 + -65 + -60 + \ldots$
Encuentra la suma de los primeros 200 términos en $-50 + -49 + -48 +\ldots$

Evalúa las siguientes sumas totales.

$\sum \limits_{i=4}^{10}(5i-22)$
$\sum \limits_{i=2}^{25}(-3i+37)$
$\sum \limits_{i=11}^{48}(i-20)$
$\sum \limits_{i=5}^{40}(50-2i)$

Encuentra la suma de las series acotadas por los términos dados. Incluye estos términos en la suma.

$a_7=39$ y $a_{23}=103$
$a_8=1$ y $a_{30}=-43$
$a_4=-15$ y $a_{17}=24$
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