Secuencias Geométricas y Encontrar el Término Enésimo dada la Razón y el Primer Término

En esta sección identificarás una secuencia geométrica y su razón y escribirás una regla para el término $n^{th}$ dada la razón y un término.

La siguiente secuencia muestra la distancia (en centímetros) que recorre un péndulo con cada balanceo sucesivo. Escribe una regla general para la secuencia geométrica.

80, 72, 64.8, 58.32, ...

Orientación

Una secuencia geométrica es una secuencia en la que la razón entre dos términos consecutivos cualquiera, $\frac{a_n}{a_{n-1}}$ , es constante. Este valor constante se llama razón . Otra forma de ver esto es que cada término se multiplica por el mismo valor, la razón, para obtener el siguiente término.

Ejemplo A

Considera la secuencia $2, 6, 18, 54, \ldots$

¿Es esta secuencia geométrica? Si lo es, ¿Cuál es la diferencia común?

Solución: Si observamos cada par de términos sucesivos y evaluamos la razón, obtenemos $\frac{6}{2}=\frac{18}{6}=\frac{54}{18}=3$ lo que indica que la secuencia es geométrica y que la razón es 3.

Más Orientación

Ahora veamos si podemos desarrollar una regla general (término $n^{th}$ ) para esta secuencia. Ya que sabemos que cada término se multiplica por 3 para obtener el siguiente término, volvamos a escribir cada término como un producto y veamos si existe un patrón.

$a_1 &= 2 \\\a_2 &= a_1(3)=2(3)=2(3)^1 \\\a_3 &= a_2(3)=2(3)(3)=2(3)^2 \\\a_4 &= a_3(3)=2(3)(3)(3)=2(3)^3$

Esto ilustra que la regla general es $a_n=a_1(r)^{n-1}$ , donde $r$ es la razón. Esto incluso sirve para el primer término ya que $a_1=2(3)^0=2(1)=2$ .

Ejemplo B

Escribe una regla general para la secuencia geométrica $64, 32, 16, 8, \ldots$

Solución: De la regla general anterior podemos observar que necesitamos saber dos cosas: el primer término y la progresión geométrica para escribir la regla general. El primer término es 64 y podemos encontrar la progresión geométrica dividiendo un par de términos sucesivos, $\frac{32}{64}=\frac{1}{2}$ . La regla para el término $n^{th}$ es entonces $a_n=64 \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$ .

Ejemplo C

Encuentra la regla para el término $n^{th}$ para la secuencia $81, 54, 36, 24, \ldots$ hasta encontrar el $12^{th}$ término.

Solución: Aquí el primer término es 81 y la razón, $r$ , es $\frac{54}{81}=\frac{2}{3}$ . La regla para el término $n^{th}$ es $a_n=81 \left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}$ . Ahora podemos encontrar el $12^{th}$ término $a_{12}=81 \left(\frac{2}{3}\right)^{12-1}=81 \left(\frac{2}{3}\right)^{11}=\frac{2048}{2187}$ . Usa la calculadora gráfica para el último paso y usa la función MATH > Frac en tu respuesta para obtener la fracción. Podemos también usar la calculadora y la regla general para generar términos $seq(81(2/3)^\land(x-1), x, 12, 12)$ . Recuerda: la función $seq ( \ )$ se puede encontrar en el Menú LIST ( $2^{nd}$ STAT ) abajo de OPS . Asegúrate de que todo el exponente esté entre paréntesis.

Revisión del Problema Introductorio Necesitamos saber dos cosas, el primer término y la razón, para escribir la regla general. El primer término es 80 y podemos encontrar la razón dividiendo un par de términos sucesivos, $\frac{72}{80}=\frac{9}{10}$ . Entonces, la regla para el término $n^{th}$ es $a_n=80 \left(\frac{9}{10}\right)^{n-1}$ .

Práctica Guiada

1. Identifica cuales de las siguientes secuencias son geométricas. Si la secuencia es geométrica, encuentra la razón.

a. $5, 10, 15, 20, \ldots$

b. $1, 2, 4, 8, \ldots$

c. $243, 49, 7, 1, \ldots$

2. Encuentra la regla general y el $20^{th}$ término para la secuencia $3, 6, 12, 24, \ldots$

3. Encuentra la regla para el término $n^{th}$ y enlista desde el quinto al décimo primer término usando tu calculadora para la secuencia $-1024, 768, -432, -324, \ldots$

4. Encuentra el valor de un auto de 10 años de antigüedad si el precio de compra fue de $22.000, y este se ha devaluado a una tasa de 9% anual.

Respuestas

1. a. aritmética

b. geométrica, $r=2$

c. geométrica, $r=\frac{1}{7}$

2. El primer término es 3 y la razón es $r=\frac{6}{3}=2$ entonces $a_n=3(2)^{n-1}$ .

El $20^{th}$ término es $a_{20}=3(2)^{19}=1, 572, 864$ .

3. El primer término es -1024 y la razón es $r=\frac{768}{-1024}=-\frac{3}{4}$ entonces $a_n=-1024 \left(-\frac{3}{4}\right)^{n-1}$ .

Usa la función calculadora de secuencias para encontrar los términos y MATH > Frac ,

$seq \ (-1024(-3/4)^\land(x-1), x, 5, 11)= \left\{-324 \quad 243 \quad -\frac{729}{4} \quad \frac{2187}{16} \quad -\frac{6561}{256} \quad \frac{19683}{256} \quad -\frac{59049}{1024}\right\}$

4. El primer término (el valor del auto después de 0 años) es de $22.000. La razón es $1-.09$ or $0.91$ . El valor del auto después de $n$ años se puede determinar por $a_n=22, 000(0.91)^n$ . Para los 10 años obtenemos $a_{10}=22, 000(0.91)^{10}=8567.154599 \approx \$8567$ .

Vocabulario

Secuencia Geométrica: Una secuencia en la que la razón de dos términos consecutivos cualquiera es constante.

Razón: El valor de una razón constante entre dos términos consecutivos cualquiera en una secuencia geométrica. También, el valor por el cual multiplicas un término en la secuencia para obtener el siguiente término.

Práctica

Identifica cual de las siguientes secuencias son aritméticas, geométricas o ninguna de las dos.

$2, 4, 6, 8, \ldots$
$\frac{1}{2}, \frac{3}{2}, \frac{9}{2}, \frac{27}{2}, \ldots$
$1, 2, 4, 7, \ldots$
$24, -16, \frac{32}{3}, -\frac{64}{9}, \ldots$
$10, 5, 0, -5, \ldots$
$3, 4, 7, 11, \ldots$

Dado el primer término y la razón, escribe la regla para el término $n^{th}$ y usa la calculadora para generar los primeros cinco términos en cada secuencia.

$a_1=32$ y $r=\frac{3}{2}$
$a_1=-81$ y $r=-\frac{1}{3}$
$a_1=7$ y $r=2$
$a_1=\frac{8}{125}$ y $r=-\frac{5}{2}$

Encuentra la regla para el término $n^{th}$ para cada una de las siguientes secuencias geométricas.

$162, 108, 72, \ldots$
$-625, -375, -225, \ldots$
$\frac{9}{4}, -\frac{3}{2}, 1, \ldots$
$3, 15, 75, \ldots$
$5, 10, 20, \ldots$
$\frac{1}{2}, -2, 8, \ldots$

Usa una secuencia geométrica para resolver los siguientes problemas verbales.

Rebecca heredó una porción de tierra que vale $50.000. Su valor se ha incrementado en un promedio de 5% anual durante los primeros 5 años. Si esta tasa de apreciación continúa, ¿Cuál será aproximadamente el costo de la tierra en 10 años más?
Un granjero compra un tractor nuevo en $75.000. Si el precio del tractor se devalúa en cerca de 6% anual, ¿Cuál será su valor después de 15 años?

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