Encontrar el Término Enésimo dada la Razón y un Término cualquiera o Dos Términos

En esta sección escribirás una regla para el término $n^{th}$ para una secuencia aritmética dada la razón y un término cualquiera o dos términos cualquiera en la secuencia.

Una muestra bacterial se duplica a cada hora. Después de cuatro horas hay 64 bacterias en la muestra. ¿Cuál es la regla para el término $n^{th}$ para la secuencia geométrica representada en esta situación?

Orientación

Usaremos la regla general para el término $n^{th}$ en una secuencia geométrica y los términos dados para determinar el primer término y escribir una regla general para encontrar cualquier otro término.

Ejemplo A

Considera la secuencia geométrica en la que la razón es $-\frac{4}{5}$ y $a_5=1280$ . Encuentra el primer término en la secuencia y escribe la regla general para la secuencia.

Solución: Comenzaremos usando el término que conocemos, la razón y la regla general, $a_n=a_1 r^{n-1}$ . Insertando los valores que conocemos, podemos entonces calcular el primer término, $a_1$ .

$a_5 &=a_1 \left(-\frac{4}{5} \right)^4 \\\1280 &= a_1 \left(-\frac{4}{5} \right)^4 \\\\frac{1280}{\left(-\frac{4}{5} \right)^4} &=a_1 \\\3125 &=a_1$

Ahora, la regla para el término $n^{th}$ es $a_n=3125 \left(-\frac{4}{5} \right)^{n-1}$ .

Ejemplo B

Encuentra la regla para el término $n^{th}$ para la secuencia en la que $a_1=16$ y $a_7=\frac{1}{4}$

Solución: Ya que $a_7=\frac{1}{4}$ y que conocemos el primer término, podemos escribir la ecuación $\frac{1}{4}=16r^6$ y calcular la razón:

$\frac{1}{4} &=16r^6 \\\\frac{1}{64} &=r^6 \\\\sqrt[6]{\frac{1}{64}} &=\sqrt[6]{r^6} \\\\frac{1}{2} &=r$

La regla para el término $n^{th}$ es $a_n=16 \left(\frac{1}{2} \right)^{n-1}$

Ejemplo C

Encuentra la regla para el término $n^{th}$ para la secuencia geométrica en la que $a_5=8$ y $a_{10}=\frac{1}{4}$ .

Solución: Al usar el mismo método del ejemplo anterior, podemos calcular $r$ y $a_1$ . Entonces, escribe la regla general.

Ecuación 1: $a_5=8$ , entonces $8=a_1 r^4$ , calculando $a_1$ obtenemos $a_1=\frac{8}{r^4}$ .

Ecuación 2: $a_{10}=\frac{1}{4}$ , entonces $\frac{1}{4}=a_1 r^9$ , calculando $a_1$ obtenemos $a_1=\frac{\frac{1}{4}}{r^9}$ .

$\frac{8}{r^4} &=\frac{\frac{1}{4}}{r^9} \\\8r^9 &=\frac{1}{4} r^4 \\\\frac{8r^9}{8r^4} &=\frac{\frac{1}{4}r^4}{8r^4} \\\r^5 &=\frac{1}{32} \\\\sqrt[5]{r^5} &=\sqrt[5]{\frac{1}{32}} \\\r &=\frac{1}{2}$

Entonces, $a_1=\frac{8}{\left(\frac{1}{2} \right)^4}=\frac{8}{\frac{1}{16}}=\frac{8}{1} \cdot \frac{16}{1}=128$ .

La regla para el término $n^{th}$ es $a_n=\left(\frac{3}{8} \right) (2)^{n-1}$ .

$^*$ Aviso: En la ecuación anterior, al calcular $r$ hemos dividido ambos lados por $r^4$ . Generalmente, no es recomendable dividir ambos lados de una ecuación por la variable porque podemos perder una solución posible, $r=0$ . Sin embargo, en este caso, $r\ne 0$ ya es la razón en una secuencia geométrica.

Revisión del Problema Introductorio Sabemos que $a_4=64$ y ya que la muestra se duplica a cada hora sabemos que la razón es 2. Por lo tanto podemos insertar los valores conocidos en la ecuación $a_n=a_1 r^{n-1}$ para obtener $a_1$ .

$a_4=a_1 r^{n-1}$ .

$64 &=a_1 (2)^3 \\\64 &= 8a_1 \\\8 &=a_1$

Por lo tanto, hay 8 bacterias en la muestra al comienzo y la regla para el término $n^{th}$ es $a_n=8 \cdot 2^{n-1}$ .

Práctica Guiada

1. Encuentra el primer término y la regla para el término $n^{th}$ para la secuencia geométrica dado que $r=-\frac{1}{2}$ y $a_6=3$ .

2. Encuentra la razón y la regla para el término $n^{th}$ para la secuencia geométrica dado que $a_1=-\frac{16}{625}$ y $a_6=-\frac{5}{2}$ .

3. Encuentra la regla para el término $n^{th}$ para la secuencia geométrica en la que $a_5=6$ y $a_{13}=1536$ .

Respuestas

1. Usa las cantidades conocidas en la forma general para la regla para el término $n^{th}$ para encontrar $a_1$ .

$3 &=a_1 \left(-\frac{1}{2} \right)^5 \\\\left(-\frac{32}{1} \right) \cdot 3 &=a_1 \left(-\frac{1}{32} \right) \cdot \left(-\frac{32}{1} \right) \\\a_1 &=-96$

Entonces, $a_n=-96 \left(-\frac{1}{2} \right)^{n-1}$

2. Nuevamente, sustituye las cantidades conocidas para calcular $r$ .

$-\frac{5}{2} &=\left(-\frac{16}{625} \right) r^5 \\\-\frac{5}{2}\left(-\frac{625}{16} \right)&=r^5 \\\\frac{3125}{32} &=r^5 \\\\sqrt[5]{\frac{3125}{32}} &=\sqrt[5]{r^5} \\\r &=\frac{5}{2}$

Entonces, $a_n=-\frac{16}{625} \left(\frac{5}{2} \right)^{n-1}$

3. Esta vez hay dos cosas que no sabemos, el primer término y la razón. Necesitaremos resolver un sistema de ecuaciones usando ambos términos dados.

Ecuación 1: $a_5=6$ , entonces $6=a_1r^4$ , calculando $a_1$ obtenemos $a_1=\frac{6}{r^4}$ .

Ecuación 2: $a_{13}=1536$ , entonces $1536=a_1 r^{12}$ , calculando $a_1$ obtenemos $a_1=\frac{1536}{r^{12}}$ .

Ahora que ambas ecuaciones se calculan $a_1$ podemos igualarlas y calcular $r$ .

$\frac{6}{r^4} &=\frac{1536}{r^{12}} \\\6r^{12} &=1536r^4 \\\\frac{6r^{12}}{6r^4} &=\frac{1536r^4}{6r^4} \\\r^8 &=256 \\\\sqrt[8]{r^8} &=\sqrt[8]{256} \\\r &=2$

Ahora usa $r$ para encontrar $a_1$ : $a_1=\frac{6}{(2^4)}=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}$ .

La regla para el término $n^{th}$ es $a_n=\left(\frac{3}{8} \right)(2)^{n-1}$ .

Práctica

Usa la información dada para encontrar la regla para el término $n^{th}$ para cada secuencia geométrica.

$r=\frac{2}{3}$ y $a_8=\frac{256}{81}$
$r=-\frac{3}{4}$ y $a_5=\frac{405}{8}$
$r=\frac{6}{5}$ y $a_4=3$
$r=-\frac{1}{2}$ y $a_7=5$
$r=\frac{6}{7}$ y $a_0=1$
$a_1=\frac{11}{8}$ y $a_7=88$
$a_1=24$ y $a_4=81$
$a_1=48$ y $a_4=\frac{3}{4}$
$a_1=\frac{343}{216}$ y $a_5=\frac{6}{7}$
$a_6=486$ y $a_{10}=39366$
$a_5=648$ y $a_{10}=\frac{19683}{4}$
$a_3=\frac{2}{3}$ y $a_5=\frac{3}{2}$
$a_5=\frac{4}{3}$ y $a_{10}=-\frac{128}{3}$

Usa una secuencia geométrica para resolver los siguientes problemas verbales.

Los padres de Ricardo quieren haber ahorrado $100.000 para pagar la universidad al momento en que Ricardo se haya graduado de la escuela (16 años a partir de ahora). Si el vehículo de inversión en el que deciden invertir, pretende dar un crecimiento de 7% anual, ¿Cuánto deberían invertir hoy? Aproxima tu respuesta al millar de dólares más cercano.
Si una pieza de maquinaria se deprecia (pierde su valor) a una tasa de 6% anual, ¿Cuál era su valor inicial, si a los 10 años su valor es de $50.000? Aproxima tu respuesta al millar de dólares más cercano.

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