Encontrar la Suma de una Serie Geométrica Finita

En esta sección encontrarás la suma de una serie geométrica usando la fórmula y la calculadora.

Estás ahorrando para un campamento de verano. Depositas $100 a tu cuenta de ahorro el primer día de cada mes. La cuenta crece a una tasa de 0,5% mensual. ¿Cuánto dinero hay en tu cuenta el primer día del $9^{th}$ mes?

Orientación

En secciones anteriores, hemos discutido cómo usar la calculadora para encontrar la suma de cualquier serie si sabemos la regla para el término $n^{th}$ . Sin embargo, para una serie geométrica, hay una regla específica que se puede usar para encontrar la suma algebraicamente. Observemos la secuencia geométrica finita y derivemos esta regla.

Dado $a_n=a_1r^{n-1}$

La suma de los primeros términos $n$ de una secuencia geométrica : es $S_n=a_1+a_1r+a_1r^2+a_1r^3+ \ldots +a_1r^{n-2}+a_1r^{n-1}$

Ahora, desglosa $a_1$ para obtener $a_1(1+r^2+r^3+ \ldots +r^{n-2}+r^{n-1})$ . Si separamos lo que está dentro del paréntesis y multiplicamos esta suma por $(1-r)$ como se muestra a continuación, podemos simplificar la suma:

$&(1-r)S_n=(1-r)(1+r+r^2+r^3+ \ldots +r^{n-2}+r^{n-1}) \\\&= (1+r+r^2+r^3+ \ldots +r^{n-2}+r^{n-1}-r-r^2-r^3-r^4- \ldots -r^{n-1}-r^n) \\\&= (1+r+r^2+r^3+ \ldots +r^{n-2}+r^{n-1}-r-r^2-r^3-r^4- \ldots -r^{n-1}-r^n) \\\&= (1-r)^n$

Multiplicando la suma por $1-r$ fuimos capaces de anular todos los términos del medio. Sin embargo, hemos cambiado la suma por un factor de $1-r$ , entonces lo que realmente necesitamos hacer es multiplicar nuestra suma por $\frac{1-r}{1-r}$ , or 1.

$a_1(1+r^2+r^3+ \ldots +r^{n-2}+r^{n-1}) \frac{1-r}{1-r}=\frac{a_1(1-r^n)}{1-r}$ , la cual es la suma de una serie geométrica finita.

Entonces, $S_n=\frac{a_1(1-r^n)}{1-r}$

Ejemplo A

Encuentra la suma de los 10 primeros términos de la secuencia geométrica $a_n=\frac{1}{32}(-2)^{n-1}$ . Esto también se puede escribir como, “Encuentra $\sum\limits_{n=1}^{10} \frac{1}{32}(-2)^{n-1}$ .”

Solución: Usando la fórmula, $a_1=\frac{1}{32}$ , $r=-2$ , y $n=10$ .

$S_{10}=\frac{\frac{1}{32}(1-(-2)^{10})}{1-(-2)} = \frac{\frac{1}{32}(1-1024)}{3} = -\frac{341}{32}$

También podemos usar la calculadora como se muestra más abajo.

$sum(seq(1/32(-2)^{x-1}, x, 1, 10))=-\frac{341}{32}$

Ejemplo B

Encuentra el primer término y la regla para el término $n^{th}$ para una serie geométrica en la que la suma de los 5 primeros términos es 242 y la secuencia geométrica es 3.

Solución: Inserta lo que conocemos a la fórmula para la suma y para calcular el primer término:

$242 &= \frac{a_1(1-3^5)}{1-3} \\\242 &= \frac{a_1(-242)}{-2} \\\242 &= 121a_1 \\\a_1 &= 2$

El primer término es 2 y $a_n=2(3)^{n-1}$ .

Ejemplo C

Charlie deposita $1.000 en su cuenta de inversiones el primer día de cada año. La cuenta crece a una tasa del 8% anual. ¿Cuánto dinero habrá en la cuenta el primer día del $11^{th}$ año.

Solución: Primero, considera lo que aquí pasa en el primer día de cada año. El primer día de cada año, se depositan $1.000. El primer día del segundo año se depositan $1.000 y el depósito previo de $1.000 gana 8% de interés por un factor de 1,08 (108%). El primer día del tercer año se depositan otros $1.000, el depósito del año anterior gana un 8% de interés y el depósito original gana un 8% de interés por dos años (multiplicamos por $1.08^2$ ):

$&\text{Sum Year} \ 1: 1000\\\&\text{Sum Year} \ 2:1000 + 1000(1.08)\\\&\text{Sum Year} \ 3: 1000 + 1000(1.08) + 1000(1.08)^2\\\&\text{Sum Year} \ 4: 1000 + 1000(1.08) + 1000(1.08)^2 + 1000(1.08)^3\\\& \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \vdots\\\&\text{Sum Year} \ 11: 1000 + 1000(1.08) + 1000(1.08)^2 + 1000(1.08)^3 + \ldots + 1000(1.08)^9 + 1000(1.08)^{10}$

$^*$ Hay 11 términos en esta serie porque el primer día del $11^{th}$ año hacemos nuestra depósito final y el depósito original gana un interés por 10 años.

Esta serie es geométrica. El primer término es 1000, la razón es 1,08 y $n=11$ . Ahora podemos calcular la suma usando la fórmula y determinar el valor de la cuenta de inversión al comienzo del $11^{th}$ año.

$s_{11}=\frac{1000 \left(1-1.08^{11}\right)}{1-1.08}=16645.48746 \approx \$16,645.49$

Revisión del Problema Introductorio Hay 9 términos en esta serie porque en el primer día del $9^{th}$ mes, haces tu depósito final y el depósito original gana un interés por 8 meses.

Esta serie es geométrica. El primer término es 100, la razón es 1,005 y $n=9$ . Ahora podemos calcular la suma usando la fórmula y determinar el valor de la cuenta de inversión al comienzo del $9^{th}$ mes.

$s_{9}=\frac{100 \left(1-1.005^{9}\right)}{1-1.005}= 918.22$

Por lo tanto hay $918,22 en la cuenta al comienzo del noveno mes.

Práctica Guiada

1. Evalúa $\sum\limits_{n=3}^8 2(-3)^{n-1}$ .

2. Si la suma de los primeros siete términos en una serie geométrica es $\frac{215}{8}$ y $r=-\frac{1}{2}$ , encuentra el primer término y la regla para el término $n^{th}$ .

3. Sam deposita $50 el primer día de cada mes en una cuenta que gana 0,5% de interés mensual. Aproximando al dólar más cercano, ¿Cuánto dinero hay en la cuenta justo después de que Sam haga su último depósito el primer día del quinto año (el $49^{th}$ mes).

Respuestas

1. Ya que nos pidieron encontrar la suma del $3^{rd}$ al $8^{th}$ término, consideraremos $a_3$ como el primer término. El tercer término $a_3=2(-3)^2=2(9)=18$ . Ya que estamos empezando con el tercer término, sumaremos 6 términos, $a_3+a_4+a_5+a_6+a_7+a_8$ , en total. Podemos usar la regla para la suma de una serie geométrica ahora con $a_1=18$ , $r=-3$ y $n=6$ para encontrar la suma:

$\sum_{n=3}^8 2(-3)^{n-1}=\frac{18(1-(-3)^6)}{1-(-3)}=-3276$

2. Podemos substituir lo que conocemos hacia la fórmula para la suma de una serie geométrica y calcular $a_1$ .

$\frac{215}{8} &= \frac{a_1 \left(1-\left(-\frac{1}{2}\right)^7\right)}{1- \left(-\frac{1}{2}\right)} \\\\frac{215}{8} &= a_1 \left(\frac{43}{64}\right) \\\a_1 &= \left(\frac{64}{43}\right)\left(\frac{215}{8}\right)=40$

La regla para el término $n^{th}$ es $a_n=40 \left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}$

3. El depósito que realiza Sam y el interés ganado en cada depósito genera una serie geométrica,

$& S_{49}=50+50(1.005)^1+50(1.005)^2+50(1.005)^3+ \ldots +50(1.005)^{47}+50(1.005)^{48}, \\\& \qquad \ \ \uparrow \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \uparrow \\\& \quad \text{last deposit} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \text{first deposit}$

Observa que el primer depósito gana un interés por 48 meses y el depósito final no gana ningún interés. Ahora podemos encontrar la suma usando $a_1=50$ , $r=1.005$ y $n=49$ .

$S_{49}=\frac{50(1-(1.005)^{49})}{(1-1.005)} \approx \$2768$

Práctica

Usa la fórmula para la suma de una serie geométrica para encontrar la suma de los cinco primeros términos de cada serie.

$a_n=36 \left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}$
$a_n=9(-2)^{n-1}$
$a_n=5(-1)^{n-1}$
$a_n=\frac{8}{25} \left(\frac{5}{2}\right)^{n-1}$
$a_n=\frac{2}{3} \left(-\frac{3}{4}\right)^{n-1}$

Encuentra las sumas indicadas usando la fórmula y luego comprueba tus respuestas con la calculadora.

$\sum\limits_{n=1}^4(-1) \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$
$\sum\limits_{n=2}^8(128) \left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}$
$\sum\limits_{n=2}^7 \frac{125}{64}\left(\frac{4}{5}\right)^{n-1}$
$\sum\limits_{n=5}^{11} \frac{1}{32}(-2)^{n-1}$

Dada la suma y la razón, encuentra la regla para el término $n^{th}$ para las series.

$\sum\limits_{n=1}^6 a_n=-63$ y $r=-2$
$\sum\limits_{n=1}^4 a_n=671$ y $r=\frac{5}{6}$
$\sum\limits_{n=1}^5 a_n=122$ y $r=-3$
$\sum\limits_{n=2}^7 a_n=-\frac{63}{2}$ y $r=-\frac{1}{2}$

Resuelve los siguientes problemas verbales usando la fórmula para la suma de las series geométricas.

Los abuelos de Sapna depositan $1.200 en una cuenta de ahorro universitario en su cumpleaños número $5^{th}$ . Continúan depositando cada cumpleaños hasta que hacen el depósito final en su cumpleaños número $18^{th}$ . Si la cuenta gana 5% de interés anual, ¿Cuánto habrá en la cuenta después del depósito final?
Jeremy quiere haber ahorrado $10.000 en cinco años. Si realiza un depósito anual el primer día de cada año y la cuenta gana un 4,5% de interés anual, ¿Cuánto debe depositar cada año para tener $10.000, en la cuenta después del depósito final el primer día del $6^{th}$ año? Aproxima tu respuesta al centenar de dólares más cercano.

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