Sumas Parciales

En esta sección determinarás sumas parciales de varios tipos de series y observarás el comportamiento de las secuencias formadas por estas sumas.

En el siglo XVIII, el matemático Leonhard Euler resolvió uno de los problemas de series infinitas más importantes de ese tiempo examinado la serie $\sum \limits_{n=1}^{\infty}\frac{2}{n(n+1)}$ .

Encuentra las cinco primeras sumas parciales de esta serie y haz una observación sobre la suma de las series infinitas.

[Fuente: http://plus.maths.org/content/infinite-series-surprises}

Orientación

Una serie infinita es una serie con un número infinito de términos. En otras palabras, el valor de $n$ se incrementa sin límite como se muestra en la siguiente serie.

$\sum \limits_{n=1}^{\infty}3n+1 & =4+7+10+13+ \ldots \\\\sum \limits_{n=1}^{\infty}4(2)^{n-1} & =4+8+16+32+ \ldots\\\\sum \limits_{n=1}^{\infty}8 \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}&=8+4+2+1+ \frac{1}{2}+ \ldots$

Estas sumas continúan infinitamente y pueden incrementar sin límite.

Ya que no podemos encontrar las sumas de estas series añadiendo todos los términos, podemos analizar su comportamiento observando patrones dentro de sus sumas parciales . Una suma parcial es una suma de un número finito de términos en la serie. Podemos fijarnos en una serie de estas sumas para observar el comportamiento de una suma infinita. Cada una de estas sumas parciales se denota por $S_n$ donde $n$ denota el índice del último término en la suma. Por ejemplo, $S_6$ es la suma de los seis primeros términos en una serie infinita.

Ejemplo A

Encuentra las cinco primeras sumas parciales de $\sum \limits_{n=1}^{\infty} 2n-1$ y haz una observación acerca de la suma de la serie infinitas.

Solución: Las cinco primeras sumas parciales son $S_1, S_2, S_3, S_4$ y $S_5$ . Para encontrar cada una de estas sumas necesitaremos los primeros cinco términos de la secuencia: 1, 3, 5, 7, 9. Ahora podemos encontrar las sumas parciales como se muestra:

$S_1&=a_1=1 \\\S_2&=a_1+a_2=1+3=4 \\\S_3&=a_1+a_2+a_3=1+3+5=9 \\\S_4&=a_1+a_2+a_3+a_4=1+3+5+7=16 \\\S_5&=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=1+3+5+7+9=25$

Observa que cada suma también se puede encontrar añadiendo el término $n^{th}$ a la suma anterior: $S_n=S_{n-1}+a_n$ .

Por ejemplo: $S_5=S_4+a_4=16+9=25$

La secuencia de las cinco primeras sumas parciales es 1, 4, 9, 16, 25. Este patrón continuará y los términos continuarán aumentando sin límite. En otras palabras, las sumas parciales continúan aumentando y la suma infinita no se puede determinar ya que es infinitamente grande.

Ejemplo B

Encuentra las cinco primeras sumas parciales de $\sum \limits_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$ y haz una observación sobre la suma de la serie infinita.

Solución: Los cinco primeros términos de esta secuencia son: $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}$ . Las sumas parciales son entonces:

$S_1&=1 \\\S_2&=1.5 \\\S_3&=1.75 \\\S_4&=1.875 \\\S_5&=1.9375$

Considera lo que ocurre con cada término subsecuente: Empezamos con 1 y añadimos $\frac{1}{2}$ que nos pone a medio camino entre 1 y 2. Entonces añadimos $\frac{1}{4}$ , que nos pone a medio camino entre 1,5 y 2. Cada vez que añadimos otro término, estamos cortando la distancia entre nuestra suma actual y 2 en la mitad. Si este patrón continúa, estaremos más cerca de 2, pero en realidad nunca alcanzaremos 2. Por lo tanto, se dice que la suma “converge a” o se “aproxima” a 2.

Para respaldar nuestra conjetura más adelante, podemos usar la calculadora para encontrar la $50^{th}$ suma parcial: $S_{50}=2$ . Finalmente, si sumamos suficientes términos, la calculadora nos dará el valor al cual se aproxima la suma debido al redondeo.

Ejemplo C

Encuentra las cinco primeras sumas parciales de $\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ , la “serie armónica” y haz una observación sobre la suma de la serie infinita (puede que necesites encontrar otras sumas parciales para ver el comportamiento de la serie infinita).

Solución: Usa la calculadora para encontrar las siguientes sumas:

$S_1&=sum(seq(1/x,x,1,1))=1 \\\S_2&=sum(seq(1/x,x,1,2))=1.5 \\\S_3&=sum(seq(1/x,x,1,3))=1.833 \\\S_4&=sum(seq(1/x,x,1,4))=2.083 \\\S_5&=sum(seq(1/x,x,1,5))=2.283$

En esta serie, el comportamiento no es tan evidente. Considera encontrar algunas sumas parciales más:

$S_{50}&=4.499 \\\S_{100}&=5.187 \\\S_{500}&=6.793$

En este caso, las sumas parciales no parecen tener límite. Continuarán aumentando y por lo tanto no hay suma finita.

Revisión del Problema Introductorio Los primeros cinco términos de esta secuencia son: $1, \frac{1}{3}, \frac{1}{6}, \frac{1}{10}, \frac{1}{15}$ . Las sumas parciales son entonces:

$S_1&=1 \\\S_2&=1.333 \\\S_3&=1.5 \\\S_4&=1.6 \\\S_5&=1.6666$

Si este patrón continúa, estaremos más cerca de 2 pero nunca llegaremos realmente a 2. Por lo tanto, se dice que la suma “converge a” o se “aproxima” a 2.

Práctica Guiada

Encuentra las cinco primeras sumas parciales de las siguientes series finitas y realiza sumas parciales adicionales si necesitas determinar el comportamiento de las series infinitas. Usa la calculadora para encontrar las sumas parciales como se muestra en el ejemplo C.

1. $\sum \limits_{n=1}^{\infty} 4 \left(\frac{3}{2}\right)^{n-1}$

2. $\sum \limits_{n=1}^{\infty} 500 \left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}$

3. $\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{5}{6n}$

Respuestas

1. $S_1=4; \ S_2=10; \ S_3=19; \ S_4=32.5; \ S_5=52.75;$ Las sumas parciales están aumentando a un ritmo cada vez mayor y entonces la serie infinita no tendrá límite.

2. $S_1=500; \ S_2=833.333; \ S_3=1055.556; \ S_4=1203.704; \ S_5=1302.469;$ Aquí las sumas parecen aumentar en cantidades más pequeñas cada vez. Observa la suma de las sumas parciales adicionales para ver si hay un límite superior aparente a su aumento. $S_{50}=1499.9999 \ldots=1500; \ S_{100}=1500$ . La suma evidentemente se está aproximando a 1500 y entonces la serie infinita tiene una suma finita.

3. $S_1=0.833; \ S_2=1.25; \ S_3=1.528; \ S_4=1.736; \ S_5=1.903;$ Esta secuencia de sumas parciales aumenta lentamente, pero ¿Se aproximará a un valor finito o continuará aumentando? Observa las sumas parciales adicionales: $S_{50}=3.749; \ S_{100}=4.323; \ S_{500}=5.661$ . En este caso, las sumas continúan creciendo sin límite entonces la serie infinita no tendrá límite.

Vocabulario

Serie Infinita: Una serie en la que el índice se incrementa sin fin. Hay un número infinito de términos.

Suma Parcial: La suma de un número finito de términos en una serie infinita.

Práctica

Encuentra las cinco primeras sumas parciales y sumas parciales adicionales si necesitas discutir el comportamiento de cada serie infinita. Usa tu calculadora para encontrar las sumas parciales.

$\sum \limits_{n=1}^{\infty}5 \left(\frac{1}{2} \right)^{n-1}$
$\sum \limits_{n=1}^{\infty}2 \left(\frac{3}{4} \right)^{n-1}$
$\sum \limits_{n=1}^{\infty}10(0.9)^{n-1}$
$\sum \limits_{n=1}^{\infty}8(1.03)^{n-1}$
$\sum \limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2}n$
$\sum \limits_{n=1}^{\infty}\frac{10}{n}$
$\sum \limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2} \left(\frac{3}{4}\right)^{n-1}$
$\sum \limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$
$\sum \limits_{n=1}^{\infty}6(0.1)^{n-1}$
$\sum \limits_{n=1}^{\infty}0.01n+5$
$\sum \limits_{n=1}^{\infty}2 \left(\frac{7}{8}\right)^{n-1}$
¿Cuáles de las series anteriores son aritméticas? ¿Tiene cualquiera de estas una suma finita? ¿Puedes explicar por qué?
¿Cuáles de las series anteriores son geométricas? ¿Tiene cualquiera de estas una suma finita? ¿Puedes explicar por qué?
¿Cuál es la diferencia entre las series que convergen y las que divergen?
Haz una conjetura sobre las series convergentes en este conjunto de problemas.

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