Encontrar la Suma de una Serie Geométrica Infinita

En esta sección aprenderás a identificar series geométricas infinitas para las cuales una suma se puede determinar y encontrar la suma.

Tu tarea como Agente para resolver Series Geométricas Infinita, si lo aceptas, es encontrar la suma de la serie geométrica $\sum \limits_{n=1}^{\infty}3 \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}$ .

Orientación

En la sección anterior exploramos sumas parciales de varias series infinitas y observamos su comportamiento a medida que $n$ se vuelve más grande para ver si la suma de la serie infinita era finita. Ahora centraremos nuestra atención en las series geométricas. Observa las sumas parciales de las siguientes geométricas infinitas:

Series	$\sum \limits_{n=1}^{\infty}3(1)^{n-1}$	$\sum \limits_{n=1}^{\infty}10 \left(\frac{3}{4}\right)^{n-1}$	$\sum \limits_{n=1}^{\infty}5 \left(\frac{6}{5}\right)^{n-1}$	$\sum \limits_{n=1}^{\infty}(-2)^{n-1}$	$\sum \limits_{n=1}^{\infty}2 \left(- \frac{1}{3}\right)^{n-1}$
$S_5$	15	30.508	37.208	11	1.506
$S_{10}$	30	37.747	129.793	$-341$	1.5
$S_{50}$	150	40	227485.954	$-3.753 \times 10^{14}$	1.5
$S_{100}$	300	40	2070449338	$-4.226 \times 10^{29}$	1.5

De la tabla anterior, podemos ver que dos series geométricas infinitas que tienen una suma finita son $\sum \limits_{n=1}^{\infty}10 \left(\frac{3}{4}\right)^{n-1}$ y $\sum \limits_{n=1}^{\infty}2 \left(- \frac{1}{3}\right)^{n-1}$ . Las dos series tienen una razón, $r$ , de tal manera que $\left | r \right \vert < 1$ o $-1<r<1$ .

Observa la fórmula para la suma de serie geométrica finita: $S_n=\frac{a_1\left(1-r^n\right)}{1-r}$ . ¿Qué le pasa a $r^n$ si dejamos que $n$ aumente demasiado para un $r$ de tal manera que $\left |r \right \vert <1$ ? Veamos algunos ejemplos.

$r$ valores	$r^5$	$r^{25}$	$r^{50}$	$r^n$ or $r^{\infty}$
$\frac{5}{6}$	$0.40188$	$0.01048$	$0.00011$	$0$
$- \frac{4}{5}$	$-0.32768$	$-0.00378$	$0.00001$	$0$
$1.1$	$1.61051$	$10.83471$	$117.39085$	Continúa aumentando
$- \frac{1}{3}$	$-0.00412$	$-1.18024 \times 10^{-12}$	$1.39296 \times 10^{-24}$	$0$

Esta tabla muestra que cuando $\left | r \right \vert <1$ , $r^n=0$ , para grandes valores de $n$ . Por lo tanto, para la suma de una serie geométrica infinita en la que $\left | r \right \vert <1, S_{\infty}=\frac{a_1 \left(1-r^n\right)}{1-r}=\frac{a_1\left(1-0\right)}{1-r}=\frac{a_1}{1-r}$ .

Ejemplo A

Encuentra la suma de la serie geométrica si es posible. $\sum \limits_{n=1}^{\infty}100 \left(\frac{8}{9}\right)^{n-1}$ .

Solución: Usando la fórmula con $a_1=100$ , $r=\frac{8}{9}$ , obtenemos $S_{\infty}=\frac{100}{1- \frac{8}{9}}=\frac{100}{\frac{1}{9}}=900$ .

Ejemplo B

Encuentra la suma de la serie geométrica si es posible. $\sum \limits_{n=1}^{\infty}9 \left(\frac{4}{3}\right)^{n-1}$ .

Solución: En este caso, $\left | r \right \vert=\frac{4}{3}>1$ , por lo tanto la suma es infinita y no se puede determinar.

Ejemplo C

Encuentra la suma de la serie geométrica si es posible. $\sum \limits_{n=1}^{\infty}5(0.99)^{n-1}$

Solución: En este caso $a_1=5$ y $r=0.99$ , entonces $S_{\infty}=\frac{5}{1-0.99}=\frac{5}{0.01}=500$ .

Revisión del Problema Introductorio En este caso $a_1=3$ y $r=\frac{1}{3}$ , entonces $S_{\infty}=\frac{3}{1-\frac{1}{3}}=\frac{3}{\frac{2}{3}}=\frac{9}{2}=4.5$ .

Práctica Guiada

Encuentra las sumas de las siguientes series geométricas infinitas, si es posible.

1. $\sum \limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{9} \left(- \frac{3}{2}\right)^{n-1}$

2. $\sum \limits_{n=1}^{\infty}4 \left(\frac{7}{8}\right)^{n-1}$

3. $\sum \limits_{n=1}^{\infty}3(-1)^{n-1}$

Respuestas

1. $\left | r \right \vert=\left |- \frac{3}{2} \right \vert=\frac{3}{2}>1$ entonces la suma infinita no existe.

2. $a_1=4$ y $r=\frac{7}{8}$ entonces $S_{\infty}=\frac{4}{1- \frac{7}{8}}=\frac{4}{\frac{1}{8}}=32$ .

3. $\left | r \right \vert=\left |-1 \right \vert=1 \ge 1$ , por lo tanto la suma infinita no converge. Si observamos el comportamiento de las primeras sumas parciales podemos ver que oscilan entre 0 y 3.

$S_1&=3 \\\S_2&=0 \\\S_3&=3 \\\S_4&=0$

Este patrón continuará por lo que no hay una suma determinable para la serie infinita.

Práctica

Encuentra las sumas de las series geométricas infinitas, si es posible.

$\sum \limits_{n=1}^{\infty} 5 \left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}$
$\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{10} \left(- \frac{4}{3}\right)^{n-1}$
$\sum \limits_{n=1}^{\infty} 2 \left(- \frac{1}{3}\right)^{n-1}$
$\sum \limits_{n=1}^{\infty} 8(1.1)^{n-1}$
$\sum \limits_{n=1}^{\infty} 6(0.4)^{n-1}$
$\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2} \left(\frac{3}{7}\right)^{n-1}$
$\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{5}{3} \left(\frac{1}{6}\right)^{n-1}$
$\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{5} (1.05)^{n-1}$
$\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{4}{7} \left(\frac{6}{7}\right)^{n-1}$
$\sum \limits_{n=1}^{\infty} 15 \left(\frac{11}{12}\right)^{n-1}$
$\sum \limits_{n=1}^{\infty} 0.01 \left(\frac{3}{2}\right)^{n-1}$
$\sum \limits_{n=1}^{\infty} 100 \left(\frac{1}{5}\right)^{n-1}$
$\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2} \left(\frac{5}{4}\right)^{n-1}$
$\sum \limits_{n=1}^{\infty} 2.5(0.85)^{n-1}$
$\sum \limits_{n=1}^{\infty} -3 \left(\frac{9}{16}\right)^{n-1}$