Aplicación del Principio Fundamental de Conteo

En esta sección, aprenderás cómo definir y aplicar el Principio Fundamental de Conteo.

Una patente de un veterano está conformada por un dígito (0-9), seguido de una letra en mayúsculas (A-Z), seguida de un segundo dígito (0-9). ¿Cuántas posibles combinaciones de patentes hay?

Orientación

SA veces queremos saber cuántas combinaciones diferentes se pueden hacer a partir de una variedad de elementos. El principio fundamental de conteo establece que el número de posibilidades en que múltiples eventos pueden ocurrir se pueden determinar al multiplicar el número de resultados posibles por cada evento. En otras palabras, si los eventos $A$ , $B$ , y $C$ tienen 5, 3 y 4 resultados posibles respectivamente, las posibles combinaciones de resultados serían $5 \times 3 \times 4=60$ .

Los siguientes ejemplos te ayudarán a desarrollar y entender este concepto y sus aplicaciones.

Ejemplo A

Sofia trabaja en una tienda de ropa. Se le ha asignado la tarea de vestir a un maniquí con una falda, una blusa y un par de zapatos de una exposición de faldas, blusas y zapatos que hacen juego. Ya que todas las prendas combinan, ella puede elegir cualquier blusa, cualquier falda y cualquier par de zapatos y el atuendo se verá bien. Si hay 3 faldas, 5 blusas y 2 pares de zapatos, ¿De cuántas maneras distintas puede vestir al maniquí?

Solución: Usemos un árbol para que nos ayude a visualizar las posibilidades. Si comenzamos con la Blusa A, obtenemos las siguientes posibilidades para el resto del atuendo:

Por lo tanto, tendríamos las siguientes 6 combinaciones con la Blusa A:

Blusa A, Falda A, Zapatos A

Blusa A, Falda A, Zapatos B

Blusa A, Falda B, Zapatos A

Blusa A, Falda B, Zapatos B

Blusa A, Falda C, Zapatos A

Blusa A, Falda C, Zapatos B

Considera que hay otras cuatro blusas que también tendrán 6 combinaciones de faldas y zapatos que irán con ellas. Ahora, hay $5 \times 6$ combinaciones totales, lo que significa 30 maneras en que Sofia podría vestir al maniquí.

Ejemplo B

Ralph está intentando comprar un auto nuevo. El vendedor le dice que hay 8 colores interiores diferentes posibles, 5 colores exteriores y 3 modelos de autos para elegir. ¿Cuántos autos únicos y diferentes tiene para elegir?

Solución: En vez de hacer un diagrama de árbol, esta vez analizaremos un método más eficiente para determinar el número de combinaciones. Si consideramos lo que pasa en el diagrama de árbol, cada uno de los 8 colores interiores diferentes se combinaría con cada uno de los 5 colores exteriores y aquellas combinaciones se unirían a los 3 modelos diferentes, podemos ver que:

$8 \ \text{interior colors} \times 5 \ \text{exterior colors} \times \ \text{3 models}= 8 \times 5 \times 3=120 \ \text{combinations}$

Ejemplo C

Monique asiste a una cena de 5 tiempos en el comedor de un crucero. El menú consiste en 2 aperitivos, 3 sopas, 2 ensaladas, 4 entradas y 3 postres. ¿Cuántos platillos diferentes se pueden armar si ella elige un plato de cada uno?

Solución: Si sigues el método descrito en el ejemplo B, podemos multiplicar el número de elecciones por cada plato para determinar el total de combinaciones.

$2 \times 3 \times 2 \times 4 \times 3=144 \ \text{unique} \ 5 \ \text{course meals}$ .

Revisión del Problema Introductorio Podemos multiplicar el número de elecciones por cada posición de la patente para determinar las combinaciones totales:

$10 \times 26 \times 10=2600$ .

Por lo tanto, hay 2600 combinaciones de patentes posibles.

Práctica Guiada

1.Una cafetería ofrece una promoción de un expreso especial. Eliges uno de los 3 tamaños, uno de los 5 jarabes saborizantes y la leche que prefieras: entera, descremada o de soya. ¿Cuántas combinaciones de café se pueden hacer? ?

2. Sarah va a un delicatessen local en el que ofrecen un almuerzo que incluye una sopa, una ensalada y un sándwich. Hay 3 sopas, 3 ensaladas y 6 sándwiches para elegir. ¿Cuántos almuerzos diferentes se pueden formar?

3. Un sitio web para diseñar tu propia polera ofrece 5 tallas, 8 colores y 25 diseños para sus poleras. ¿Cuántas poleras diferentes se pueden diseñar?

Respuestas

Hay 3 tamaños, 5 jarabes y 3 tipos de leches para elegir. Por lo tanto, $3 \times 5 \times 3=45 \ \text{drinks}$ .

2. $3 \ \text{soups} \times 3 \ \text{salads} \times 6 \ \text{sywiches}=54 \ \text{lunch combos}$ .

3. $5 \ \text{sizes} \times 8 \ \text{colors} \times 25 \ \text{designs}=1000 \ \text{shirts}$ .

Vocabulario

El Principio Fundamental de Conteo: Establece que el número de posibilidades en que múltiples eventos pueden ocurrir se puede determinar al multiplicar el número de posibles resultados por cada evento.

Práctica

Usa el Principio Fundamental de Conteo para responder las siguientes preguntas.

Una tienda de yogurt helado tiene una promoción especial de un Sundae de Domingo a mitad de precio. Los clientes pueden elegir uno de los cuatro sabores, uno de los tres jarabes y una de las 12 coberturas en su sundae. ¿Cuántas combinaciones posibles de sundae se pueden hacer?
En un restaurante local, las alas son la especialidad. El restaurante ofrece 3 tamaños de alas, 4 niveles de calor y salsa para untar ranchera o de queso azul. ¿Cuántas órdenes diferentes son posibles?
Un restaurante de fideos ofrece 5 tipos de fideos para elegir. Cada plato viene con una de 4 carnes y una de 6 salsas diferentes a elección. ¿Cuántas combinaciones se pueden hacer?
Charlie tira una moneda y luego lanza un dado. ¿Cuántos resultados diferentes son posibles?
En un crucero de una semana, la nave se detiene en cuatro puertos. En cada puerto hay seis excursiones diferentes para elegir. Si un pasajero elige una excursión en cada puerto, ¿Cuántas experiencias vacacionales diferentes se pueden crear?
Samuel quiere saber si puede pasar un mes sin usar el mismo atuendo dos veces. Tiene tres pares de pantalones, seis poleras y dos pares de zapatos. ¿Puede crear un atuendo único para cada día del mes?
Una tienda de autos tiene cuatro modelos diferentes para elegir en seis colores exteriores. Si hay 3 colores interiores diferentes para elegir, ¿Cuántos vehículos diferentes se pueden diseñar?
Un bar de burritos ofrece un almuerzo de burrito especial. Los clientes pueden elegir una tortilla de harina o de maíz; pollo, bistec o carnitas; arroz blanco o integral; porotos negros o pintos; queso, guacamole o crema agria y una de cuatro salsas a un precio especial. ¿Cuántos burritos diferentes se pueden hacer?
Maria lanza un dado, hace girar un trompo con cuatro números y luego tira una moneda. ¿Cuántos resultados diferentes son posibles?
Un restaurante local ofrece un especial para cenar. Los clientes pueden elegir una de las seis entradas, uno de los tres aperitivos y uno de los tres postres. ¿Cuántos almuerzos diferentes se pueden formar?