Uso del Principio Fundamental de Conteo con y sin Repetición

En esta sección, aprenderás cómo determinar el número de combinaciones posibles en situaciones en las que los elementos se puedan repetir.

Un candado tiene dígitos del 0 al 39. Una serie de tres números lo abre. ¿Cuántas combinaciones posibles para abrir el candado hay si los números no se pueden repetir?

Orientación

Imagina un número de teléfono. Un número de teléfono consiste completamente de números o elementos repetidos. En esta sección examinaremos cómo determinar el número total de combinaciones posibles de elementos que pueden repetirse.

Ejemplo A

Una patente en el estado de Virginia consiste de tres letras y cuatro números. Si las letras y los números se pueden repetir, ¿Cuántas posibles patentes se pueden hacer?

Solución: Si pensamos en los tres espacios para las letras, ¿Cuántas letras se pueden elegir para poner en cada espacio? ¿Y cuántos números en los cuatro espacios para ellos? Si no hay restricciones, esto es, se pueden repetir las letras y los números, el número total de patentes es:

$\underline{{\color{red}26}} \times \underline{{\color{red}26}} \times \underline{{\color{red}26}} \times \underline{{\color{blue}10}} \times \underline{{\color{blue}10}} \times \underline{{\color{blue}10}} \times \underline{{\color{blue}10}}=175,760,000$

Ahora, ¿Qué pasa si las letras o los números no se pueden repetir? Bien, luego de que se elige la primera letra, ¿Cuántas letras podrían llenar el siguiente espacio? Ya que empezamos con 26, habrá 25 letras sin usar para el segundo espacio y 24 para el tercero. Es similar con los números, habrá uno menos en cada espacio:

$\underline{{\color{red}26}} \times \underline{{\color{red}25}} \times \underline{{\color{red}24}} \times \underline{{\color{blue}10}} \times \underline{{\color{blue}9}} \times \underline{{\color{blue}8}} \times \underline{{\color{blue}7}}=78,624,000$

Ejemplo B

¿Cuántas contraseñas únicas de cinco letras se pueden hacer? ¿Cuántas se pueden hacer si no se pueden repetir las letras?

Solución: Ya que hay 26 letras para elegir por cada 5 espacios, el número de contraseñas únicas se puede encontrar al multiplicar 26 por sí mismo 5 veces o $(26)^5=11,881,376$ . Si no repetimos las letras, necesitaremos restar una cada vez que multipliquemos $26 \times 25 \times 24 \times 23 \times 22=7,893,600$ .

Ejemplo C

¿Cuántos números únicos de 4 dígitos se pueden hacer? ¿Qué pasa si los dígitos no se pueden repetir?

Solución: Para la primera parte, piensa que para que el número tenga 4 dígitos, el primero no puede ser cero. Por lo tanto, comenzamos solo con 9 dígitos en el primer espacio. El segundo espacio podría ser ocupado por cualquiera de los otros 10 dígitos y así sucesivamente:

$\underline{9} \times \underline{10} \times \underline{10} \times \underline{10}=9000.$

Para la segunda parte, en la que los dígitos no se pueden repetir, tendríamos 9 dígitos posibles para el primer espacio, entonces tendríamos 9 de nuevo en el segundo espacio (no podemos repetir el primer dígito, pero podemos volver a incluir el 0), luego 8 para el tercer espacio y 7 para el último:

$\underline{9} \times \underline{9} \times \underline{8} \times \underline{7}=4536.$

Revisión del Problema Introductorio Ya que hay 40 letras para elegir por cada 3 espacios, el número de contraseñas únicas se puede encontrar al multiplicar 40 por sí mismo 3 veces o $(40)^3=64,000$ . Sin embargo, no podemos repetir números, por lo que necesitamos restar uno cada vez que multiplicamos $40 \times 39 \times 38 =59,280$ .

Por lo tanto, hay 59.280 combinaciones para abrir el candado.

Práctica Guiada

1. ¿Cuántas contraseñas únicas se pueden hacer a partir de 6 letras seguidas por un número o símbolo si hay 10 símbolos posibles? No se pueden repetir ni las letras ni los números.

2. Si una patente tiene tres letras y tres números, ¿Cuántas combinaciones posibles se pueden hacer?

3. En un número telefónico de 7 dígitos, los primeros tres dígitos representan la central a la que pertenece el número. Si, dentro de un código de área particular, hay 53 centrales, ¿Cuántos números telefónicos se pueden hacer?

Respuestas

1. $\underline{{\color{red}26}} \times \underline{{\color{red}25}} \times \underline{{\color{red}24}} \times \underline{{\color{red}23}} \times \underline{{\color{red}22}} \times \underline{{\color{red}21}} \times \underline{{\color{blue}20}}=3,315,312,000$

2. $\underline{{\color{red}26}} \times \underline{{\color{red}26}} \times \underline{{\color{red}26}} \times \underline{{\color{blue}10}} \times \underline{{\color{blue}10}} \times \underline{{\color{blue}10}} =17,576,000$

3. $\underline{{\color{red}53}} \times \underline{{\color{blue}10}} \times \underline{{\color{blue}10}} \times \underline{{\color{blue}10}} \times \underline{{\color{blue}10}}=530,000$

Práctica

Usa el Principio Fundamental de Conteo para responder las siguientes preguntas. Vuelve a los ejemplos y a la práctica guiada si necesitas ayuda.

¿Cuántos números de seis dígitos se pueden formar si no se pueden repetir los dígitos?
¿Cuántos números de cinco dígitos que terminen en 5 se pueden formar?
¿Cuántas patentes de 4 letras seguidas de 2 números se pueden formar?
¿Cuántos números telefónicos de siete dígitos se pueden hacer si hay 75 canales en un área?
¿Cuántos pins (códigos) de cuatro letras se pueden hacer?
¿Cuántos pins de letras y números se pueden hacer si no se pueden repetir ni las letras ni los números?
¿En cuántas formas diferentes se pueden ordenar nueve novelas únicas en un estante?
¿Cuántos conos de tres bolas de helado se pueden hacer a partir de 12 sabores si estos pueden repetirse? ¿Qué pasa si los sabores no se pueden repetir?
¿Cuántas licencias para conducir diferentes se pueden formar por 2 letras seguidas por 6 números?
¿Cuántos números de identificación de estudiantes se pueden hacer por 4 números al azar (el cero no puede ir al principio) seguidos del curso del estudiante (9, 10, 11 o 12)? Por ejemplo: 5422-12 para un estudiante de $12^{th}$ .

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